Problema successione convergente
Ho incontrato un po' di difficoltà nella risoluzione di questo esercizio:
Ovviamente $b_n$ è la media aritmetica dei termini di $a_n$ quindi intuitivamente so che anche $b_n\toa_infty$. Per dimostrarlo ho pensato di procedere in questo modo: considero le distanza dei termini $a_n$ da $a_infty$, ovvero $\delta_n=a_infty-a_n$, ora posso riscrivere la successione $b_n = 1/n*\sum_{k=1}^n (a_infty-\delta_k) = 1/n*(\sum_{k=1}^n a_infty - \sum_{k=1}^n \delta_k) = 1/n * (n*a_infty - \sum_{k=1}^n \delta_k)$
Mi sono bloccato su quest ultimo passaggio: devo mostrare che $(\sum_{k=1}^n \delta_k)/n\to0$.
Quando n tende ad infinito la sommatoria diventa la serie che ha come termine generale le differenze, che tendono a 0. Quindi la condizione necessaria per la convergenza ci sta, ma non necessariamente converge.
Capisco che devo sfruttare la n sotto... intuitivamente so che dopo un po' di tempo supera i delta che diventano arbitrariamente piccoli, ma come posso dirlo formalmente?
Sia $a_n$ una successione tale che $\lim_{n \to \infty}a_n = a_infty in bbb"R"$, definiamo la successione $b_n = 1/n*\sum_{k=1}^n a_k$. Determinare il comportamento di $b_n$.
Ovviamente $b_n$ è la media aritmetica dei termini di $a_n$ quindi intuitivamente so che anche $b_n\toa_infty$. Per dimostrarlo ho pensato di procedere in questo modo: considero le distanza dei termini $a_n$ da $a_infty$, ovvero $\delta_n=a_infty-a_n$, ora posso riscrivere la successione $b_n = 1/n*\sum_{k=1}^n (a_infty-\delta_k) = 1/n*(\sum_{k=1}^n a_infty - \sum_{k=1}^n \delta_k) = 1/n * (n*a_infty - \sum_{k=1}^n \delta_k)$
Mi sono bloccato su quest ultimo passaggio: devo mostrare che $(\sum_{k=1}^n \delta_k)/n\to0$.
Quando n tende ad infinito la sommatoria diventa la serie che ha come termine generale le differenze, che tendono a 0. Quindi la condizione necessaria per la convergenza ci sta, ma non necessariamente converge.
Capisco che devo sfruttare la n sotto... intuitivamente so che dopo un po' di tempo supera i delta che diventano arbitrariamente piccoli, ma come posso dirlo formalmente?
Risposte
Prova a dimostrare con la definizione di limite che quella successione tende a $0$. Per ogni $\epsilon>0$ prendi un $\bar{n}$ tale che $AAn>\bar{n}, \delta_n<\epsilon$, e guarda un po' cosa riesci a dire.
Grazie @otta96, penso di aver capito.
Concluderei in questo modo:
Per ogni $\epsilon>0$ consideriamo un $\bar{n}\in\NN$ tale che $AAn>=\bar{n}$ si ha che $|\delta_n|<\epsilon$.
Serve il modulo perché per come ho considerato le distanze tra i singoli termini e la media, queste possono anche essere negative.
A questo punto la successione può essere riscritta come:
$(sum_{k=1}^n\delta_k)/n = (sum_{k=1}^(\bar{n}-1)\delta_k)/n + (sum_{k=\bar{n}}^n\delta_k)/n $
Il primo addendo tende a 0.
Per il secondo osserviamo che:
$-(sum_{k=\bar{n}}^n\epsilon)/n <= (sum_{k=\bar{n}}^n\delta_k)/n <= (sum_{k=\bar{n}}^n\epsilon)/n$
Quindi che
$-\epsilon <= -\epsilon*(n-\bar{n}+1)/n <= (sum_{k=\bar{n}}^n\delta_k)/n <= \epsilon*(n-\bar{n}+1)/n <= \epsilon$
Quindi che è compreso tra $-\epsilon$ e $\epsilon$.
A questo punto, sostituendo nell'espressione di $b_n$ otteniamo che $AA\epsilon>0\ EE\bar{n}\inNN$ tale che $AAn>=\bar{n}$ si ha che $|b_n-a_infty| < \epsilon$.
Questo dimostra che $b_n \to a_infty$. Va bene questo modo di procedere?
Se non sbaglio si poteva ottenere lo stesso risultato anche senza introdurre la successione $\delta_n$ semplicemente osservando che, per ogni epsilon, a partire da un certo $\bar{n}$, $|a_k| < a_infty-epsilon$.
Concluderei in questo modo:
Per ogni $\epsilon>0$ consideriamo un $\bar{n}\in\NN$ tale che $AAn>=\bar{n}$ si ha che $|\delta_n|<\epsilon$.
Serve il modulo perché per come ho considerato le distanze tra i singoli termini e la media, queste possono anche essere negative.
A questo punto la successione può essere riscritta come:
$(sum_{k=1}^n\delta_k)/n = (sum_{k=1}^(\bar{n}-1)\delta_k)/n + (sum_{k=\bar{n}}^n\delta_k)/n $
Il primo addendo tende a 0.
Per il secondo osserviamo che:
$-(sum_{k=\bar{n}}^n\epsilon)/n <= (sum_{k=\bar{n}}^n\delta_k)/n <= (sum_{k=\bar{n}}^n\epsilon)/n$
Quindi che
$-\epsilon <= -\epsilon*(n-\bar{n}+1)/n <= (sum_{k=\bar{n}}^n\delta_k)/n <= \epsilon*(n-\bar{n}+1)/n <= \epsilon$
Quindi che è compreso tra $-\epsilon$ e $\epsilon$.
A questo punto, sostituendo nell'espressione di $b_n$ otteniamo che $AA\epsilon>0\ EE\bar{n}\inNN$ tale che $AAn>=\bar{n}$ si ha che $|b_n-a_infty| < \epsilon$.
Questo dimostra che $b_n \to a_infty$. Va bene questo modo di procedere?
Se non sbaglio si poteva ottenere lo stesso risultato anche senza introdurre la successione $\delta_n$ semplicemente osservando che, per ogni epsilon, a partire da un certo $\bar{n}$, $|a_k| < a_infty-epsilon$.
Hai fatto tutto bene 
E hai ragione sul dire che non c'era bisogno di introdurre i $\delta_n$, si può fare con la stessa idea, che è quella che dici tu alla fine.
P.S. Ho notato che ti sei appena iscritt*! Benvenut*
E hai ragione sul dire che non c'era bisogno di introdurre i $\delta_n$, si può fare con la stessa idea, che è quella che dici tu alla fine.P.S. Ho notato che ti sei appena iscritt*! Benvenut*
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo