Problema su sistema di equazione differenziale non omogeneo
\(\displaystyle \)Buonasera a tutti. Ho un problema nello svolgimento di questo sistema di equazione differenziale, piu precisamente, mi trovo con la soluzione del mio docente fino all'omogenea, dopo non vengono riportati i passaggi successivi ma soltanto la parte finale quindi non so se ho commesso degli errori nel trovare la soluzione particolare o quella data dal problema di cauchy .
Il sistema è il seguente
$ y1'(t) = -3y1 (t) + 10y2 (t)+2e^t $
$y2' (t) = -2y1(t) +6y2(t) + e^t $ e il problema di cauchy associato è $y(0)=1,1$
Trattandosi di un sistema con matrice diagonalizzabile, ho trovato la soluzione omogenea semplicemente trovando autovalori e autovettori associati, creandomi dunque la matrice Wronskiana che è risultata la seguente
\begin{matrix}
5e^t & 2e^2t \\
2e^t & e^2t
\end{matrix}
Successivamente ho trovato la soluzione particolare da sommare a quella omogenea utilizzando questa formula data dal mio docente $W(t) * int W(t) ^-1 * b(t) $ dove W è la matrice Wronskiana e b il vettore delle forzanti e svolgendo i prodotti ottengo il vettore \begin{matrix}
2e^t \\
e^t &
\end{matrix}.
A questo punto mi manca da trovare la soluzione al problema di cauchy e ho pensato di portare in forma non matriciale la soluzione ottenendo
$y1= C1*5e^t + C2*2e^2t+2e^t $
$y2= C1*2e^t + C2* e^2t +e^t $
e a questo punto ho cercato di trovarmi i C1 e C2 che mi permettessero di soddisfare il problema di cauchy e l'ho impostato cosi
\begin{cases}
5C1+2C2+2=1\\
2C1+C2+1=1
\end{cases}
Ottengo come soluzioni C1= -1 e C2=2 che sostituiti alla soluzione mi fanno ottenere come soluzione :
\begin{matrix}
4e^2t & -3e^t \\
-e^t & 2e^2t
\end{matrix}
ma la soluzione riporta :
\begin{matrix}
8e^2t & −7e^t \\
4e^2t & -3e^t
\end{matrix}
NOTA: nelle matrici mi ha scritto $e^2 t$ ma in realta intendo $e^ (2t)$ non riesco a modificarlo
So che ci sono anche altri metodi per svolgere i sistemi di equazioni differenziali, anche riconducendosi in questo caso ad un equazione del 2 ordine, ma volevo svolgerlo seguendo questa strada per attenermi agli svolgimenti proposti, se qualcuno riesce a farmi capire dove sto sbagliando gliene sarei grato!
Il sistema è il seguente
$ y1'(t) = -3y1 (t) + 10y2 (t)+2e^t $
$y2' (t) = -2y1(t) +6y2(t) + e^t $ e il problema di cauchy associato è $y(0)=1,1$
Trattandosi di un sistema con matrice diagonalizzabile, ho trovato la soluzione omogenea semplicemente trovando autovalori e autovettori associati, creandomi dunque la matrice Wronskiana che è risultata la seguente
\begin{matrix}
5e^t & 2e^2t \\
2e^t & e^2t
\end{matrix}
Successivamente ho trovato la soluzione particolare da sommare a quella omogenea utilizzando questa formula data dal mio docente $W(t) * int W(t) ^-1 * b(t) $ dove W è la matrice Wronskiana e b il vettore delle forzanti e svolgendo i prodotti ottengo il vettore \begin{matrix}
2e^t \\
e^t &
\end{matrix}.
A questo punto mi manca da trovare la soluzione al problema di cauchy e ho pensato di portare in forma non matriciale la soluzione ottenendo
$y1= C1*5e^t + C2*2e^2t+2e^t $
$y2= C1*2e^t + C2* e^2t +e^t $
e a questo punto ho cercato di trovarmi i C1 e C2 che mi permettessero di soddisfare il problema di cauchy e l'ho impostato cosi
\begin{cases}
5C1+2C2+2=1\\
2C1+C2+1=1
\end{cases}
Ottengo come soluzioni C1= -1 e C2=2 che sostituiti alla soluzione mi fanno ottenere come soluzione :
\begin{matrix}
4e^2t & -3e^t \\
-e^t & 2e^2t
\end{matrix}
ma la soluzione riporta :
\begin{matrix}
8e^2t & −7e^t \\
4e^2t & -3e^t
\end{matrix}
NOTA: nelle matrici mi ha scritto $e^2 t$ ma in realta intendo $e^ (2t)$ non riesco a modificarlo
So che ci sono anche altri metodi per svolgere i sistemi di equazioni differenziali, anche riconducendosi in questo caso ad un equazione del 2 ordine, ma volevo svolgerlo seguendo questa strada per attenermi agli svolgimenti proposti, se qualcuno riesce a farmi capire dove sto sbagliando gliene sarei grato!
Risposte
Basta una semplice verifica per concludere che:
non può essere una soluzione particolare del sistema:
Piuttosto:
Insomma, devi aver commesso una svista.
$\{(y_1=2e^t),(y_2=e^t):}$
non può essere una soluzione particolare del sistema:
$\{(doty_1=-3y_1+10y_2+2e^t),(doty_2=-2y_1+6y_2+e^t):}$
Piuttosto:
$AA A in RR: \{(y_1=Ae^t),(y_2=1/5(2A-1)e^t):}$
Insomma, devi aver commesso una svista.
Grazie mille per la risposta. Per svista intendi errori di calcolo o errori di concetto? Seguendo i passaggi che ti ho riportato, dove pensi abbia fatto questi errori? Sto controllando da ieri ma non ne esco ....
Devi aver commesso una svista nel calcolare:
corrispondente al valore:
del mio messaggio precedente.
$[[5e^t,2e^(2t)],[2e^t,e^(2t)]]*\int[[5e^t,2e^(2t)],[2e^t,e^(2t)]]^(-1)*[[2e^t],[e^t]]dt=$
$=[[5e^t,2e^(2t)],[2e^t,e^(2t)]]*\int[[e^(-t),-2e^(-t)],[-2e^(-2t),5e^(-2t)]]*[[2e^t],[e^t]]dt=$
$=[[5e^t,2e^(2t)],[2e^t,e^(2t)]]*\int[[0],[e^(-t)]]dt=$
$=[[5e^t,2e^(2t)],[2e^t,e^(2t)]]*[[0],[-e^(-t)]]=$
$=[[-2e^t],[-e^t]]$
corrispondente al valore:
$A=-2$
del mio messaggio precedente.
Grazie mille! Mi ero scordato di riportare un meno per via dell'integrazione. 
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