Problema su metrica
Una distanza definita come una norma al quadrato è realmente una distanza, cioè per essa vale la disuguaglianza triangolare?
Più precisamente, data una matrice A hermitiana e semidefinita positiva, (x-y)^H A (x-y) è una metrica in C^n ?
N.B.
x^H indica l'hermitiano di x
Se non capite bene la traccia, guardate l'esercizio 1 della prova al seguente link:
http://www.mediafire.com/?jg5yg2vp5gttl5z
Più precisamente, data una matrice A hermitiana e semidefinita positiva, (x-y)^H A (x-y) è una metrica in C^n ?
N.B.
x^H indica l'hermitiano di x
Se non capite bene la traccia, guardate l'esercizio 1 della prova al seguente link:
http://www.mediafire.com/?jg5yg2vp5gttl5z
Risposte
Raga, come mai nessun mi da neppure un piccolo aiuto? Ho sbagliato a scrivere qualcosa??
Per gli "up" bisogna aspettare almeno 24 ore.
Comunque, anche con la metrica euclidea in $\RR^n$, $n\ge 2$, ti basta prendere $x,y,z\in\RR^n$ con $|x| = |y| = 1$, $x$ ortogonale a $y$, e $z=2y$; prova a confrontare $|x-z|^2$ con $|x-y|^2 + |y-z|^2$.
Comunque, anche con la metrica euclidea in $\RR^n$, $n\ge 2$, ti basta prendere $x,y,z\in\RR^n$ con $|x| = |y| = 1$, $x$ ortogonale a $y$, e $z=2y$; prova a confrontare $|x-z|^2$ con $|x-y|^2 + |y-z|^2$.
Onestamente non capisco quello che hai scritto come possa servirmi. Penso che è un controesempio per farmi vedere che la disuguaglianza triangolare non vale, ma puoi essere più chiaro, per favore.
In $\RR^2$: $x = (1,0)$, $y=(0,1)$, $z= (0,2)$, sempre salvo errori di calcolo.
Allora la disuguaglianza triangolare è vera. Ma come faccio a dimostrarlo??
"Rigel":
In $\RR^2$: $x = (1,0)$, $y=(0,1)$, $z= (0,2)$, sempre salvo errori di calcolo.
$|x-z|^2 = 5$; $|x-y|^2 = 2$; $|y-z|^2 = 1$, da cui
$|x-z|^2 > |x-y|^2 + |y-z|^2$.
Capito. Quindi quella non può essere una distanza. Grazie.
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