Problema su integrale

[g.longhi]

Ciao a tutti, devo calcolare l'integrale definito:

$ int_(2)^(5)(2sqrt(x+5)+1)/(((sqrt(x+5)-5)(sqrt(x+5)-2)(sqrt(x+5))) $

Provo a porre $y=sqrt(x+5)$ ma non riesco proprio a venirne fuori..

[Gi81]

Se $y=sqrt(x+5)$, allora $x+5=y^2=> x=y^2-5$. Dunque $dx=d(y^2-5)=2ydy$
Gli estremi di integrazione, che erano $2$ e $5$, diventano $sqrt(7)$ e $sqrt(10)$.
Come diventa l'integrale?

[g.longhi]

Ok fin qui c'ero, mi viene:

$ int_(sqrt(7))^(sqrt(10)) ((2y+1)(2y))/((y-5)(y-2)y) $

Da cui sviluppo il prodotto al numeratore

$ int_(sqrt(7))^(sqrt(10)) (4y^2+2y)/((y-5)(y-2)y) $

Ed ora integro col metodo delle funzioni razionali, cioè spezzo la frazione in due parti e le integro?

[Gi81]

Aspetta, puoi fare una semplificazione. Tu hai: $ int_(sqrt(7))^(sqrt(10)) (2y*(2y+1))/(y*(y-5)*(y-2))dy $. Semplifica $y$

[g.longhi]

Quindi ho che

$ a/(y-5)+b/(y-2) = (A(y-2)+B(y-5))/((y-2)(y-5)) => A= -3, B=5 $

Scrivo i due integrali sfruttando la linearità

$ -6 int_(sqrt(7))^(sqrt(10)) (1/(y-5)) + 10int_(sqrt(7))^(sqrt(10)) (1/(y-2)) $

Prendo come primitiva di 1/x = log|x| e mi viene:

$ -6 log(|sqrt(10)-5|/(|sqrt7-5|)) +10log(|sqrt(10)-2|/(|sqrt7-2|)) $

Però il risultato (svolto su Wolfram) viene diverso..

[Gi81]

A me viene $A=11/3$, $B=-5/3$

[g.longhi]

Ops avevo sbagliato la cosa più banale.. Quindi basta solo sostituire le costanti alla soluzione di prima, tutto il resto è corretto?

[Gi81]

Si, penso proprio di sì

[g.longhi]

Ti ringrazio di cuore Gi8