Problema su insieme di complessi

[pizzi]

oggi pomeriggio scritto di analisi...mah..vi racconterò quando saprò il risultato..per ora vorrei sapere come si faceva questo problema con cui ho avuto da litigare! si tratta di descrivere "com'è fatto" l'insieme di numeri complessi che soddisfano:
$ Im (z) >= 2 $ e $ |z-1+i| leq 2 $
le opzioni sono:
a) insieme vuoto
b) un semipiano
c) un semicerchio
d) un cerchio
io ho segnato insieme vuoto (anche se ora mi sto convertendo alla b..) dopo aver provato a sostituire nella seconda relazione dei valori...ma ero abbastanza fuso quando sono arrivato a questo quesito..qualcuno mi può dare una mano a capire meglio il procedimento un po più rigoroso da seguire??

[misanino]

Indichiamo $z=a+ib$ con $a,b\inRR$.
Ora dire $Im(z)>=2$ significa dire $b>=2$
Dire $|z-1+i|<=2$ significa dire $|a+ib-1+i|<=2$ cioè $|(a-1)+i(b+1)|<=2$ cioè $(a-1)^2+(b+1)^2<=2$.
In definitiva quindi deve valere:
$b>=2$
$(a-1)^2+(b+1)^2<=2$
Ma se $b>=2$ allora $b+1>2$ e quindi $(a-1)^2+(b+1)^2>2$ arrivando a contraddire la seconda equazione.
Perciò la soluzione esatta è l'insieme vuoto.
Per questa volta (se non ho sbagliato i calcoli) ti è andata bene!!

[pizzi]

"misanino":
Dire $|z-1+i|<=2$ significa dire $|a+ib-1+i|<=2$ cioè $|(a-1)+i(b+1)|<=2$ cioè $(a-1)^2+(b+1)^2<=2$.

non vorrei contraddirti visto che per me era una bella notizia..ma che io sappia il modulo di quel numero complesso diventa $sqrt((a-1)^2+(b+1)^2)<=2$
anche se da un primo sguardo non cambia molto visto che:
$b^2>=4$ e si ripete lo stesso ragionamento..giusto??
grazie per aver formalizzato il discorso..è sempre quel passaggio che mi manca!

[misanino]

"pieerr":[quote="misanino"]
Dire $|z-1+i|<=2$ significa dire $|a+ib-1+i|<=2$ cioè $|(a-1)+i(b+1)|<=2$ cioè $(a-1)^2+(b+1)^2<=2$.

non vorrei contraddirti visto che per me era una bella notizia..ma che io sappia il modulo di quel numero complesso diventa $sqrt((a-1)^2+(b+1)^2)<=2$
anche se da un primo sguardo non cambia molto visto che:
$b^2>=4$ e si ripete lo stesso ragionamento..giusto??
grazie per aver formalizzato il discorso..è sempre quel passaggio che mi manca! [/quote]

Sì. Volevo scrivere 4 e invece ho scritto 2.
Deve essere $(a-1)^2+(b+1)^2<=4$ e dato che $b>=2$ allora $(b+1)^2>4$.
Ottieni perciò l'insieme vuoto

[pizzi]

ok non preoccuparti! grazie ancora!