Problema su indici
Salve a tutti, ho un problema con la formula seguente.
ipotizziamo x=[1 2 3] x'=[4 5 6] d=3 k=2. La funzione computata è (1*4+2*5+3*6)^2=1024. Non capisco però la formula a destra dell'ultimo uguale. v che valori dovrebbe avere? cosa significa la k fuori dalla parentesi?(pensavo intendesse che v assume k valori distinti ma non ha senso). L'indice vs di x quindi che significa? Grazie mille
ipotizziamo x=[1 2 3] x'=[4 5 6] d=3 k=2. La funzione computata è (1*4+2*5+3*6)^2=1024. Non capisco però la formula a destra dell'ultimo uguale. v che valori dovrebbe avere? cosa significa la k fuori dalla parentesi?(pensavo intendesse che v assume k valori distinti ma non ha senso). L'indice vs di x quindi che significa? Grazie mille
Risposte
La \(v=(v_1,v_2,\ldots,v_k)\) è un multiindice di lunghezza \(k\) le cui componenti \(v_s\) appartengono a \(\{1,\ldots ,d\}\).
Non mi è ancora chiaro. La sommatoria non passa al produttorio un vi1 ma un v1? la sommatoria così cicla 2 volte e il produttorio 2, quindi con i dati del mio esempio dovrei avere 1*4*2*5+1*4*2*5 che è sbagliato. Potresti farmi un esempio con i miei numeri? Grazie
Prendiamo \(x=(x_1,x_2,x_3)\) ed \(x^\prime=(x_1^\prime,x_2^\prime,x_3^\prime)\) e \(k=2\).
Hai:
\[
\langle x,x^\prime\rangle = x_1x_1^\prime+x_2x_2^\prime+x_3x_3^\prime
\]
dunque in maniera standard:
\[
\begin{split}
\langle x,x^\prime\rangle^2 &= (x_1x_1^\prime+x_2x_2^\prime+x_3x_3^\prime)^2\\
&= x_1^2(x_1^\prime)^2+x_2^2(x_2^\prime)^2+x_3^2(x_3^\prime)^2+2x_1x_1^\prime x_2x_2^\prime +2x_1x_1^\prime x_3x_3^\prime +2x_2x_2^\prime x_3x_3^\prime\; .
\end{split}
\]
Dato che \(\{ 1,2,3\}^2=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}\), con la formula hai:
\[
\begin{split}
\sum_{v\in \{1,2,3\}^2} \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime &= \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(1,1)} + \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(1,2)} + \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(1,3)}\\
&\phantom{=} \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(2,1)} + \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(2,2)} + \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(2,3)}\\
&\phantom{=} \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(3,1)} + \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(3,2)} + \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(3,3)}\\
&=(x_1x_1^\prime )(x_1x_1^\prime) + (x_1x_1^\prime )(x_2x_2^\prime )+(x_1x_1^\prime )(x_3x_3^\prime )\\
&\phantom{=} (x_2x_2^\prime )(x_1x_1^\prime) + (x_2x_2^\prime )(x_2x_2^\prime )+(x_2x_2^\prime )(x_3x_3^\prime )\\
&\phantom{=} (x_3x_3^\prime )(x_1x_1^\prime) + (x_3x_3^\prime )(x_2x_2^\prime )+(x_3x_3^\prime )(x_3x_3^\prime )\\
&= x_1^2(x_1^\prime)^2+x_2^2(x_2^\prime)^2+x_3^2(x_3^\prime)^2+2x_1x_1^\prime x_2x_2^\prime +2x_1x_1^\prime x_3x_3^\prime +2x_2x_2^\prime x_3x_3^\prime\; ,
\end{split}
\]
quindi:
\[
\langle x,x^\prime \rangle^2 = \sum_{v\in \{1,2,3\}^2} \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime
\]
come volevi.
Hai:
\[
\langle x,x^\prime\rangle = x_1x_1^\prime+x_2x_2^\prime+x_3x_3^\prime
\]
dunque in maniera standard:
\[
\begin{split}
\langle x,x^\prime\rangle^2 &= (x_1x_1^\prime+x_2x_2^\prime+x_3x_3^\prime)^2\\
&= x_1^2(x_1^\prime)^2+x_2^2(x_2^\prime)^2+x_3^2(x_3^\prime)^2+2x_1x_1^\prime x_2x_2^\prime +2x_1x_1^\prime x_3x_3^\prime +2x_2x_2^\prime x_3x_3^\prime\; .
\end{split}
\]
Dato che \(\{ 1,2,3\}^2=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}\), con la formula hai:
\[
\begin{split}
\sum_{v\in \{1,2,3\}^2} \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime &= \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(1,1)} + \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(1,2)} + \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(1,3)}\\
&\phantom{=} \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(2,1)} + \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(2,2)} + \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(2,3)}\\
&\phantom{=} \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(3,1)} + \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(3,2)} + \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime \Bigg|_{v=(3,3)}\\
&=(x_1x_1^\prime )(x_1x_1^\prime) + (x_1x_1^\prime )(x_2x_2^\prime )+(x_1x_1^\prime )(x_3x_3^\prime )\\
&\phantom{=} (x_2x_2^\prime )(x_1x_1^\prime) + (x_2x_2^\prime )(x_2x_2^\prime )+(x_2x_2^\prime )(x_3x_3^\prime )\\
&\phantom{=} (x_3x_3^\prime )(x_1x_1^\prime) + (x_3x_3^\prime )(x_2x_2^\prime )+(x_3x_3^\prime )(x_3x_3^\prime )\\
&= x_1^2(x_1^\prime)^2+x_2^2(x_2^\prime)^2+x_3^2(x_3^\prime)^2+2x_1x_1^\prime x_2x_2^\prime +2x_1x_1^\prime x_3x_3^\prime +2x_2x_2^\prime x_3x_3^\prime\; ,
\end{split}
\]
quindi:
\[
\langle x,x^\prime \rangle^2 = \sum_{v\in \{1,2,3\}^2} \prod_{s=1}^2 x_{v_s}x_{v_s}^\prime
\]
come volevi.
Mille grazie
Mi sei stato di grande aiuto ma mi occorrerebbe un'ultima cosa
la mappa finale dovrebbe dare in uscita un vettore di dimensione N, che valore dovrebbe essere?
il k e il v a destra della parentesi significa che cicla su di essi (ma senza sommarli, altrimenti avrebbe usato la sommatoria o almeno credo), da quello che mi hai spiegato v ha d^k iterazioni, k ne ha n+1. In uscita ci sarà un vettore di dimensione (n+1)*d^k? credo di no...Grazie ancora
la mappa finale dovrebbe dare in uscita un vettore di dimensione N, che valore dovrebbe essere?
il k e il v a destra della parentesi significa che cicla su di essi (ma senza sommarli, altrimenti avrebbe usato la sommatoria o almeno credo), da quello che mi hai spiegato v ha d^k iterazioni, k ne ha n+1. In uscita ci sarà un vettore di dimensione (n+1)*d^k? credo di no...Grazie ancora
Non puoi farti un esempio?
Ad ogni modo quello in uscita sembra una matrice \((k+1)\)-dimensionale di dimensioni \((n+1)\times \underbrace{d\times \cdots \times d}_{k \text{ volte}}\); quindi \(N=(n+1)\ d^k\).
Ad ogni modo quello in uscita sembra una matrice \((k+1)\)-dimensionale di dimensioni \((n+1)\times \underbrace{d\times \cdots \times d}_{k \text{ volte}}\); quindi \(N=(n+1)\ d^k\).
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