Problema su estremi di funzione: Zeri della derivata
Salve a tutti! È da molto che giro per il sito ma questa è la prima volta che apro un nuovo argomento.
Allora, il mio problema riguarda il calcolo dei massimi/minimi di questa funzione:
$f(x) = x^(1/2) * ln[x/(x+1)]$
Fino al calcolo della derivata è tutto ok, ma il problema lo trovo quando devo trovare gli zeri della funzione! Cioè, uguaglio la funzione a zero ma non ho idea di come risolvere analiticamente l’equazione.
La derivata che trovo è: $f'(x) = ((x+1) * ln(x/(x+1)) + 2) / (2 * x^(1/2) * (x+1) ) $
So che esistono altri metodi (quello grafico, metodi iterativi) ma vorrei sapere se sono io che non riesco a risolvere questa equazione analiticamente o “è proprio così” e posso mettermi il cuore in pace ed applicare il metodo grafico. (io l’ho risolta “per tentativi” … e sono arrivato alla soluzione x circa = 0.25 ...)
In questo caso, come posso fare? Ho provato a semplificare la derivata in:
$ln(x/(x+1)) = -2/(x+1)$
Ma non mi risulta facile disegnarle ...
Non parliamo neanche della derivata seconda (per il calcolo della curvatura) che è ancora più difficile.
Nota: Ho riscontrato lo stesso problema su altri esercizi …
Vi ringrazio in anticipo!!
Allora, il mio problema riguarda il calcolo dei massimi/minimi di questa funzione:
$f(x) = x^(1/2) * ln[x/(x+1)]$
Fino al calcolo della derivata è tutto ok, ma il problema lo trovo quando devo trovare gli zeri della funzione! Cioè, uguaglio la funzione a zero ma non ho idea di come risolvere analiticamente l’equazione.
La derivata che trovo è: $f'(x) = ((x+1) * ln(x/(x+1)) + 2) / (2 * x^(1/2) * (x+1) ) $
So che esistono altri metodi (quello grafico, metodi iterativi) ma vorrei sapere se sono io che non riesco a risolvere questa equazione analiticamente o “è proprio così” e posso mettermi il cuore in pace ed applicare il metodo grafico. (io l’ho risolta “per tentativi” … e sono arrivato alla soluzione x circa = 0.25 ...)
In questo caso, come posso fare? Ho provato a semplificare la derivata in:
$ln(x/(x+1)) = -2/(x+1)$
Ma non mi risulta facile disegnarle ...
Non parliamo neanche della derivata seconda (per il calcolo della curvatura) che è ancora più difficile.
Nota: Ho riscontrato lo stesso problema su altri esercizi …
Vi ringrazio in anticipo!!
Risposte
L'equazione è effettivamente trascendente, quindi puoi solo dimostrare che esiste un'unica soluzione ed, eventualmente, valutarla numericamente (in questo caso vale circa \(0.255001\)).
Se vuoi visualizzare meglio graficamente l'equazione, può essere conveniente porre \(t = -\frac{1}{1+x}\) (dal momento che \(x > 0\) avrai che \(-1
\log(1+t) = 2t,\qquad t \in (-1,0).
\]
Poiché il logaritmo è una funzione concava, vedi subito che questa equazione ha esattamente una soluzione negativa (ci sarebbe poi quella nulla, che a noi non interessa), che vale circa \(t_0 \simeq -0.796812\).
A questo punto la soluzione dell'equazione di partenza sarà
\[
x_0 = -\frac{1+t_0}{t_0} \simeq 0.255001.
\]
Se vuoi visualizzare meglio graficamente l'equazione, può essere conveniente porre \(t = -\frac{1}{1+x}\) (dal momento che \(x > 0\) avrai che \(-1
\log(1+t) = 2t,\qquad t \in (-1,0).
\]
Poiché il logaritmo è una funzione concava, vedi subito che questa equazione ha esattamente una soluzione negativa (ci sarebbe poi quella nulla, che a noi non interessa), che vale circa \(t_0 \simeq -0.796812\).
A questo punto la soluzione dell'equazione di partenza sarà
\[
x_0 = -\frac{1+t_0}{t_0} \simeq 0.255001.
\]
Non immagini quanto ti sono grato!!
In pratica hai ridotto il "range" sul quale devo andare a ricavare il mio punto. Dopo hai proseguito quindi "a tentativi" per ricavare il valore, giusto??
Veramente ti ringrazio tanto
In pratica hai ridotto il "range" sul quale devo andare a ricavare il mio punto. Dopo hai proseguito quindi "a tentativi" per ricavare il valore, giusto??
Veramente ti ringrazio tanto
"Palito":
In pratica hai ridotto il "range" sul quale devo andare a ricavare il mio punto. Dopo hai proseguito quindi "a tentativi" per ricavare il valore, giusto??
Beh, più che a tentativi ho usato un software di calcolo numerico
In questo caso, comunque, puoi cercari gli zeri della funzione \(g(t) = 2t - \log(1+t)\), che è convessa, usando il metodo di Newton. Se ti bastano poche cifre decimali basta lavorare per bisezione.
Certo! Ho capito tutto, quei metodi li ho studiati ad Analisi Numerica.
Grandissimo! Ti ringrazio tanto ancora per la pronta risposta Rigel!
!
Grandissimo! Ti ringrazio tanto ancora per la pronta risposta Rigel!
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