Problema su derivata direzionale.

[simonegia1]

Salve sono nuovo del forum e non riesco a risolvere questo esercizio. Esiste una funzione differenziabile in un punto (Xo,Yo) tale che la sua derivata direzionale calcolata in quel punto sia positiva in ogni direzione? Grazie per la risposta.

[simonegia1]

Scusate ho dimenticato di inserire il mio tentativo. Ho pensato che per la definizione di derivata direzionale andasse bene una funzione con un punto di minimo assoluto in (Xo,Yo), ma purtroppo mi sono reso conto che la derivata direzionale è sempre nulla visto che il gradiente è nullo nei punti critici.

[dissonance]

Positiva significa positiva strettamente, giusto? Pensa un attimo cosa succede se fai la derivata direzionale lungo $-\vec{v}$ dopo aver fatto quella lungo \(\vec{v}\)

[simonegia1]

Si, positiva strettamente. Per la definizione di prodotto scalare le derivate direzionali dovrebbero essere uguali ma con segni opposti dico bene?

[dissonance]

Non chiedere conferma ad ogni passo. Verifica la tua affermazione su un esempio, inventati una funzione semplice, tipo $f(x,y)=x+y$.

Una volta che tu ti sia convinto della veridicità di questa affermazione, pensa a come usarla per risolvere il problema. Quando hai finito posta qui una soluzione completa e la commentiamo.

[simonegia1]

Si lo so scusatemi ma sono giorni che ragiono su questo problema e sono arrivato alla conclusione che non esiste questa funzione facendomi anche alcuni esempi, infatti prodotto scalare tra gradiente e la direzione e tra gradiente e direzione opposta vengono opposti. Quindi la mia conclusione è che questa funzione non esiste, correggetemi se sbaglio.

[dissonance]

La conclusione è giusta e anche il ragionamento è sostanzialmente quello. Tuttavia, potresti sforzarti un po' di più per scrivere meglio il tutto in linguaggio matematico.

[simonegia1]

Grazie mille. Mi scuso per la mia poca praticità, nelle prossime discussioni mi impegnerò di più.