Problema su convergenza serie

[tantoperfare]

Ciao!
Ho una serie all'infinito di cui devo determinare il valore di x affinché converga.
La serie è: $ sum_(n = 1) (2x^(2n) + e^(nx))/ (n^2+n) $

Una volta svolti i calcoli, applicando il criterio del rapporto, mi esce $ 2x^2+e^x<1 $
Adesso, come faccio a calcolarmi le x affinché la serie converga?!?

[robbstark1]

Forse è meglio se riporti i calcoli: non mi risulta che applicando il criterio del rapporto venga fuori ciò che dici.

[tantoperfare]

Applicando il criterio del rapporto esce:

$ (n^2+n)/(n^2+3n+1)*(2x^2+e^x) $

Svolgo il limite per x->infinity e mi esce $ 1*(2x^2+e^x) $

Ora, il criterio mi dice che la serie converge per L<1, quindi $ 1*(2x^2+e^x) < 1$

Sbaglio?!

[blake1]

Allora per come ricordo io per controllare il dominio della tua serie di funzioni devi prendere il valore assoluto di $|a_n|

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[robbstark1]

[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2x^{2n+2} + e^{(n+1)x}}{(n+1)(n+2)} \frac{n(n+1)}{2x^{2n} + e^{nx}}[/tex]
Le somme non si semplificano addendo per addendo, quindi la parte che contiene la $x$ non diventa come quella che hai scritto.

Comunque piuttosto che provare a ragionare su quel rapporto, che risulta complicato, io procederei così:

[tex]\frac{2x^{2n} + e^{nx}}{n^2 + n} \sim \frac{y^n}{n^2}[/tex]
cioè studiamo la convergenza della serie più semplice con la $y$, poi troviamo per quali valori di $x$ il termine generale della nostra serie tende asintoticamente a quello con la $y$.

Usando il criterio del rapporto:
[tex]\frac{y^{n+1}}{(n+1)^2} \frac{n^2}{y^n} \to y[/tex]
Quindi la serie converge sicuramente se $|y| < 1$, non converge per $|y|>1$, per il criterio del rapporto.
Bisogna studiare cosa succede per $|y|=1$. In questo caso si sa che la serie converge per confronto con la serie armonica.

Quindi nel nostro caso la serie converge se $x^2 <=1$ ed $e^x <= 1$,
ovvero per $-1 <= x <= 0$.

[blake1]

scusa robbstark ma alla fine hai eseguito il calcolo della serie di funziona solo che hai usato il confronto asintotico prima

[robbstark1]

Che intendi per calcolo della serie? Non mi sembra di averne calcolate, anche se non sarebbe stato sbagliato.

Ho invece usato il confronto asintotico al posto del criterio del rapporto, perchè mi sembra porti a calcoli molto più semplici. Col criterio del rapporto non ho provato, ma sospetto che venga fuori una disequazione impossibile da risolvere analiticamente.

[theras]

Ragazzi,io ad occhio trarrei spunto dal fatto che $EE lim_(n to +oo)((2a^n+b^n)/(n^2+n))^(1/n)=("max"{a,b})/1="max"{a,b}$ $AA a,b in [0,+oo)$
(o almeno mi pare..):
disegnando la $f(x)=e^x-x^2: RR to RR$(operazione impegnativa ma non troppo )direi che saltan fuori tutti gli intervalli di convergenza..
Saluti dal web.