Problema su confronto tra serie

[valerio19961]

Ciao ragazzi cercando di svolgere questo esercizio mi è venuto un dubbio:
L esercizio chiede di determinare se la serie in questione converge o meno

$\sum_{n=5}^(+infty) sin(npi/(n+1))(1/(sqrt(n+2) - sqrt(n-4)))$

ora la serie $\sum_{n=5}^(+infty) sin(npi/(n+1))(1/(sqrt(n+2) - sqrt(n-4)))$ risulta essere asintotica a :

$\sum_{n=5}^(+infty) pi/(3sqrt(n)) = pi/3 \sum_{n=5}^(+infty) 1/sqrt(n) $ quest ultima serie ha lo stesso carattere

di $\sum_{n=5}^(+infty) 1/sqrt(n)$ .

vorrei ora confrontarla con la serie armonica $\sum_{n=1}^(+infty) 1/n$ dicendo che poichè $ 1/n < 1/sqrt(n) $ allora la serie

$\sum_{n=5}^(+infty) 1/sqrt(n)$ è minorata da una serie divergente ( quella armonica ) e quindi diverge.

Il problema è posso confrontare $\sum_{n=5}^(+infty) 1/sqrt(n)$ con la serie armonica $\sum_{n=5}^(+infty) 1/n$

dove però la sommatoria parte da $n=5$ e non da $n=1$ ?

[Antimius]

Certo che puoi farlo. Se una serie diverge, diverge anche da un certo punto in poi perché i primi termini che togli sono in numero finito (e quindi la loro somma è finita e non cambia il carattere della serie).