Problema su algebra degli o piccolo

[freddofede]

Abbiamo come ipotesi che $f = o(g)$ e dobbiamo stabilire se questo implica $o(f) + o(g) = o(f)$.
La prof di analisi ha detto che possiamo sostituire $o(f) + o(g) = o(o(g)) + o(g) = o(g)$ e che $o(f) + o(g) = o(g)$ non implica $o(f) + o(g) = o(f)$; ci ha trovato anche un controesempio valido con gli o piccolo per $x -> 0$ e $g(x) = x, f(x) = x^2, o(x^2) = x^3$ e $o(x) = x^2$.

A me però non torna, perchè se f = o(g) allora $o(f) + o(g) = o(g) = o(o(g)) = o(f)$ secondo l'algebra degli o piccoli; gliel'o chiesto e mi ha detto che l'uguale indicherebbe un "è" e che non va inteso come un uguale normale... io però non ho capito più di tanto la cosa; sapete spigarmi perchè il mio ragionamento di sopra, secondo il controesempio, non quadra, pur essendo secondo le regole dell'algebra degli o piccolo??

[Thomas16]

"lore":
A me però non torna, perchè se f = o(g) allora $o(f) + o(g) = o(g) = o(o(g)) = o(f)$ secondo l'algebra degli o piccoli;

Come ti dice la prof. quelli non sono degli uguali normali, ma diciamo che hanno un solo senso di percorrenza.

Quando usi una stima data dagli o-piccoli è ovvio che perdi delle informazioni e quindi i passaggi non sono reversibili.

In particolare è lecito:

$o(o(g)) = (->) o(g)$ ovvero nel tuo esempio un o-piccolo di x^2 per $x->0$ è un o-piccolo di x (se dividi una cosa per x^2 è tende a zero, tanto meglio tenderà a 0 se la dividi solo per x)

ma non vale

$o(g) = (->) o(o(g))$

in questo caso aggiungi arbitrariamente della precisione che non hai alla tua stima!

[freddofede]

La proffe aveva toppato invece: il problema non è dell'uguale ma della perdita di informazione... ecco perchè non mi tornava il discorso

Vabbè te la perdono grazie Tommaso