Problema studio di una funzione
Ciao a tutti!
In preparazione all'esame di analisi I sto svolgendo delle prove passate ed in una di queste si chiede di studiare la funzione
$f(x)=x-sqrt(1-e^(-2x))$
in particolare mi si chiede:
Quesito 1:
[1] la funzione ha un unico punto di minimo locale/globale e un punto di massimo locale (RISPOSTA CORRETTA)
[2] ha un unico punto di minimo locale/globale ma non ha massimi locali
[3] non ha né massimi né minimi locali
[4] ha un unico punto di massimo locale ma non ha minimi locali
Quesito 2:
[1] tangente orizzontale in $x=0^+$ e asintoto orizzontale orizzontale per $x->+infty$
[2] tangente verticale in $x=0^+$ e asintoto obliquo per $x->+infty$ (RISPOSTA CORRETTA)
[3] tangente orizzontale in $x=0^+$ e asintoto obliquo per $x->+infty$
[4] tangente verticale in $x=0^+$ e asintoto orizzontale per $x->+infty$
Per quanto riguarda il Quesito 1 il mio dubbio è riguardo al punto di massimo locale..
Ho calcolato la $f'(x)$ e ho trovato che si annulla per $x=-1/2ln((-1+sqrt5)/2)$
Ho studiato il segno di $f'(x)$ ed ho trovato che $f'(x)>0$ per $x>-1/2ln((-1+sqrt5)/2)$
Per cui la funzione decresce da 0 a $-1/2ln((-1+sqrt5)/2)$ e cresce da $-1/2ln((-1+sqrt5)/2)$ in poi.
Per cui si ha un minimo locale/globale in corrispondenza di $x=-1/2ln((-1+sqrt5)/2)$..
Come fa ad esserci un massimo locale?
Per quanto riguarda invece il Quesito 2 ho un dubbio a riguardo della tangente orizzontale o verticale in $x=0+$
Le risposte [1] e [4] le ho subito escluse una volta che ho trovato che la funzione presenta un asintoto obliquo di equazione $f(x)=x-1$
Ma una volta appurato questo come faccio ad arrivare a sapere se in $x=0+$ si ha tangente orizzontale o verticale?
grazie mille in anticipo per chi risponderà
In preparazione all'esame di analisi I sto svolgendo delle prove passate ed in una di queste si chiede di studiare la funzione
$f(x)=x-sqrt(1-e^(-2x))$
in particolare mi si chiede:
Quesito 1:
[1] la funzione ha un unico punto di minimo locale/globale e un punto di massimo locale (RISPOSTA CORRETTA)
[2] ha un unico punto di minimo locale/globale ma non ha massimi locali
[3] non ha né massimi né minimi locali
[4] ha un unico punto di massimo locale ma non ha minimi locali
Quesito 2:
[1] tangente orizzontale in $x=0^+$ e asintoto orizzontale orizzontale per $x->+infty$
[2] tangente verticale in $x=0^+$ e asintoto obliquo per $x->+infty$ (RISPOSTA CORRETTA)
[3] tangente orizzontale in $x=0^+$ e asintoto obliquo per $x->+infty$
[4] tangente verticale in $x=0^+$ e asintoto orizzontale per $x->+infty$
Per quanto riguarda il Quesito 1 il mio dubbio è riguardo al punto di massimo locale..
Ho calcolato la $f'(x)$ e ho trovato che si annulla per $x=-1/2ln((-1+sqrt5)/2)$
Ho studiato il segno di $f'(x)$ ed ho trovato che $f'(x)>0$ per $x>-1/2ln((-1+sqrt5)/2)$
Per cui la funzione decresce da 0 a $-1/2ln((-1+sqrt5)/2)$ e cresce da $-1/2ln((-1+sqrt5)/2)$ in poi.
Per cui si ha un minimo locale/globale in corrispondenza di $x=-1/2ln((-1+sqrt5)/2)$..
Come fa ad esserci un massimo locale?
Per quanto riguarda invece il Quesito 2 ho un dubbio a riguardo della tangente orizzontale o verticale in $x=0+$
Le risposte [1] e [4] le ho subito escluse una volta che ho trovato che la funzione presenta un asintoto obliquo di equazione $f(x)=x-1$
Ma una volta appurato questo come faccio ad arrivare a sapere se in $x=0+$ si ha tangente orizzontale o verticale?
grazie mille in anticipo per chi risponderà
Risposte
Ciao ton32,
Comincerei con l'osservare che il dominio naturale della funzione proposta $f(x) = x - \sqrt{1 - e^{-2x}} $ è $D = [0, +\infty) $ ed ovviamente $f(0) = 0 $. Poi non mi torna il discorso della derivata prima, che mi risulta essere
$f'(x) = 1 - e^(-2x)/\sqrt{1 - e^{-2x}} $
e si annulla in $x = 1/2 ln((\sqrt{5} + 1)/2) $
Non è neanche tragico trovarsi la derivata seconda, che mi risulta essere la seguente:
$f''(x) = (e^{-2x}(2e^{2x} - 1))/((e^{2x} - 1)\sqrt{1 - e^{-2x}}) $
Tale derivata seconda ovviamente si annulla per $ 2e^{2x} - 1 = 0 \implies x = -1/2 ln2 < 0 $ che è un punto fuori dal dominio naturale $D$, per cui $f''(x) > 0 $ per $x > 0 $ e $\lim_{x \to 0^+} f''(x) = +\infty $
Comincerei con l'osservare che il dominio naturale della funzione proposta $f(x) = x - \sqrt{1 - e^{-2x}} $ è $D = [0, +\infty) $ ed ovviamente $f(0) = 0 $. Poi non mi torna il discorso della derivata prima, che mi risulta essere
$f'(x) = 1 - e^(-2x)/\sqrt{1 - e^{-2x}} $
e si annulla in $x = 1/2 ln((\sqrt{5} + 1)/2) $
Non è neanche tragico trovarsi la derivata seconda, che mi risulta essere la seguente:
$f''(x) = (e^{-2x}(2e^{2x} - 1))/((e^{2x} - 1)\sqrt{1 - e^{-2x}}) $
Tale derivata seconda ovviamente si annulla per $ 2e^{2x} - 1 = 0 \implies x = -1/2 ln2 < 0 $ che è un punto fuori dal dominio naturale $D$, per cui $f''(x) > 0 $ per $x > 0 $ e $\lim_{x \to 0^+} f''(x) = +\infty $
"pilloeffe":
Ciao ton32,
Comincerei con l'osservare che il dominio naturale della funzione proposta $f(x) = x - \sqrt{1 - e^{-2x}} $ è $D = [0, +\infty) $ ed ovviamente $f(0) = 0 $. Poi non mi torna il discorso della derivata prima, che mi risulta essere
$f'(x) = 1 - e^(-2x)/\sqrt{1 - e^{-2x}} $
e si annulla in $x = 1/2 ln((\sqrt{5} + 1)/2) $
Non è neanche tragico trovarsi la derivata seconda, che mi risulta essere la seguente:
$f''(x) = (e^{-2x}(2e^{2x} - 1))/((e^{2x} - 1)\sqrt{1 - e^{-2x}}) $
Tale derivata seconda ovviamente si annulla per $ 2e^{2x} - 1 = 0 \implies x = -1/2 ln2 < 0 $ che è un punto fuori dal dominio naturale $D$.
esattamente.. errore di battitura mio..
La derivata prima mi è venuto che si annulla in $x=-1/2ln((-1+sqrt5)/2)$ che è l'equivalente..
in corrispondenza di questo punto però studiando il segno mi risulta essere un minimo locale/globale...
Non capisco come si arriva ad un massimo locale
Anche a me risulta solo un punto di minimo locale/globale.
essendo il dominio $[0,+infty)$ ed essendo la funzione decrescente in $[0, -1/2ln((-1+sqrt5)/2))$ e poi crescente per $(-1/2ln((-1+sqrt5)/2), +infty)$ considera $x=0$ come punto di massimo locale?
magari è una cavolata questa
magari è una cavolata questa
in più cosa si intende per tangente orizzontale e verticale in $x=0+$??
cioè per tangente verticale si intende punto di flesso a tangente verticale?
E' l'unica che mi viene in mente
mentre per tangente orizzontale punto in cui la derivata prima si annulla?
cioè per tangente verticale si intende punto di flesso a tangente verticale?
E' l'unica che mi viene in mente
mentre per tangente orizzontale punto in cui la derivata prima si annulla?
Sì, è così, perché il punto di minimo ha ordinata negativa (ci ho fatto caso adesso... ), per cui in effetti $O(0,0) $ è più in alto...
Beh, per il discorso della tangente verticale od orizzontale non dovresti avere dei dubbi...
), per cui in effetti $O(0,0) $ è più in alto...Beh, per il discorso della tangente verticale od orizzontale non dovresti avere dei dubbi...
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