Problema serie a segno alterno
Ragazzi ho un problemino con una serie a segno alterno del tipo:
$ sum (3+(-1)^n)/2^n $
premetto che è la prima serie che provo a fare quindi perdonatemi se commetto qualche errore "grave" comunque io ho pensato di fare la seguente:
dal teorema di leibnitz una serie a segno alterno converge se il termine generato dalla serie e infinitesimo ed è monotona non crescente quindi ho pensato di controllare che il $ lim (3+(-1)^n)/2^n=0$ dopodichè ho pensato di controllare se la funzione è monotona non crescente facendo $ a_{n} >= a_{n+1}$ fatto ciò non so più come continuare ma soprattutto non so se è giusto!!qualcuno che può aiutarmi per favore!!Grazie a tutti.
$ sum (3+(-1)^n)/2^n $
premetto che è la prima serie che provo a fare quindi perdonatemi se commetto qualche errore "grave" comunque io ho pensato di fare la seguente:
dal teorema di leibnitz una serie a segno alterno converge se il termine generato dalla serie e infinitesimo ed è monotona non crescente quindi ho pensato di controllare che il $ lim (3+(-1)^n)/2^n=0$ dopodichè ho pensato di controllare se la funzione è monotona non crescente facendo $ a_{n} >= a_{n+1}$ fatto ciò non so più come continuare ma soprattutto non so se è giusto!!qualcuno che può aiutarmi per favore!!Grazie a tutti.
Risposte
Ciao e benvenuto sul forum.
Innanzitutto la serie che hai scritto NON è una serie a segni alterni.
Infatti per n pari il termine generale è $4/2^n$, mentre per n dispari il termine generale è $2/2^n$.
In entrambi i casi il termine generale è positivo e dunque la via più semplice è quella di confrontare la serie con un'altra a termini positivi di cui conosci già il carattere.
Ad esempio la serie $sum 1/2^n$.
Innanzitutto la serie che hai scritto NON è una serie a segni alterni.
Infatti per n pari il termine generale è $4/2^n$, mentre per n dispari il termine generale è $2/2^n$.
In entrambi i casi il termine generale è positivo e dunque la via più semplice è quella di confrontare la serie con un'altra a termini positivi di cui conosci già il carattere.
Ad esempio la serie $sum 1/2^n$.
Aggiungo che in generale le serie a segno alterno si presentano nella forma:
$(-1)^n$ che MOLTIPLICA un certo $a_n$ sempre positivo. Solo in questo caso puoi utilizzare il criterio di Leibniz studiando esclusivamente il comportamento della successione $a_n$, <> il pezzo $(-1)^n$
$(-1)^n$ che MOLTIPLICA un certo $a_n$ sempre positivo. Solo in questo caso puoi utilizzare il criterio di Leibniz studiando esclusivamente il comportamento della successione $a_n$, <
Esatto.. ti basterà confrontare la serie con il termine $1/n^2$ e dire che il termine della serie è un infinitesimo di ordine superiore a quello usato per il confronto, quindi per il criterio del confronto la serie converge..
Anche qui userei il criterio della radice, esiste il limite e viene $1/2$, ergo converge.
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