Problema serie

[daniele_cmp]

Salve a tutti. In un passaggio per lo studio di una serie, il libro fa questa stima asintotica:

$\cos(1/n^\alpha-1)~-1/{2n^{2\alpha}} "per" \alpha>0$

Non ho capito il passaggio, qualcuno mi può aiutare?

Grazie

[Sk_Anonymous]

Temo anzitutto che ci sia un errore nella tua formulazione, ovvero che la parentesi aperta dopo il simbolo di coseno si chiuda prima del -1. Se cosi' non e', allora non ha senso fare un confronto asintotico visto che il tutto tende a cos(-1). Se invece e' come dico io, e' corretto il confronto che hai scritto e deriva dalla seguente uguaglianza:
cos(x)-1=[-sen^2(x)/x^2][x^2/(cos(x)+1)]
che ottieni moltiplicando e dividendo per x^2(cos(x)+1).
Ora -sen^2(x)/x^2 e' asintotico a -1, mentre cos(x)+1 tende a 2. Ne segue il confronto desiderato.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[daniele_cmp]

quote:

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Originally posted by Luca.Lussardi

Temo anzitutto che ci sia un errore nella tua formulazione, ovvero che la parentesi aperta dopo il simbolo di coseno si chiuda prima del -1. Se cosi' non e', allora non ha senso fare un confronto asintotico visto che il tutto tende a cos(-1).

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Infatti, ho sbagliato io. In effetti sul libro era:

$(\cos\frac{1}{n^\alpha}-1)$

perchè poi tutta quella parentesi moltiplicava altre cose, ma a me interessava più che altro quel passaggio.

Cmq ora ho capito, ti ringrazio tantissimo.

Ciao

[daniele_cmp]

quote:

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Se invece e' come dico io, e' corretto il confronto che hai scritto e deriva dalla seguente uguaglianza:
cos(x)-1=[-sen^2(x)/x^2][x^2/(cos(x)+1)]
che ottieni moltiplicando e dividendo per x^2(cos(x)+1).
Ora -sen^2(x)/x^2 e' asintotico a -1, mentre cos(x)+1 tende a 2. Ne segue il confronto desiderato.

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Guardandolo meglio, non ho capito perchè hai deciso di moltiplicare e dividere per x^2(cos(x)+1). Poi ho voluto provare ad applicare Taylor al secondo ordine ed è venuto. Scusa l'estrema ignoranza, ma sono due procedimenti differenti o in fondo sono la stessa cosa?

Grazie

[Sk_Anonymous]

Usare Taylor in generale e' piu' "rischioso", poiche' devi porre attenzione all'ordine a cui ti arresti. Se infatti sviluppi con Taylor devi sempre mettere l'infinitesimo o piccolo al termine dello sviluppo e ci vuole del grado giusto affinche' tutto torni. Qui dici che torna al secondo ordine, ma in altri casi potrebbe non essere cosi'.

I confronti asintotici sono invece piu' maneggevoli e rapidi, a patto che uno riesca ad "intuire" quale sia la strada giusta. In questo caso, dal momento che appariva cos(x)-1, mi e' sembrato naturale moltiplicare prima per cos(x)+1 per far apparire sen^2(x) che so essere asintotico ad x^2.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[daniele_cmp]

quote:

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Originally posted by Luca.Lussardi

Usare Taylor in generale e' piu' "rischioso", poiche' devi porre attenzione all'ordine a cui ti arresti. Se infatti sviluppi con Taylor devi sempre mettere l'infinitesimo o piccolo al termine dello sviluppo e ci vuole del grado giusto affinche' tutto torni. Qui dici che torna al secondo ordine, ma in altri casi potrebbe non essere cosi'.

I confronti asintotici sono invece piu' maneggevoli e rapidi, a patto che uno riesca ad "intuire" quale sia la strada giusta. In questo caso, dal momento che appariva cos(x)-1, mi e' sembrato naturale moltiplicare prima per cos(x)+1 per far apparire sen^2(x) che so essere asintotico ad x^2.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

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Ok, in effetti ho avuto solo fortuna che sia venuto già al secondo ordine. Quindi non mi resta che sviluppare un certo "colpo d'occhio" per fare le stime, anche se mi risulta un pò difficile "vedere" fin da subito queste semplificazioni, ed adottare di conseguenza i metodi per farle venire.

PS: complimenti per ciò che hai scritto nel tuo sito nella sezione "Divulgazione della matematica", da povero studente del I anno condivido in pieno!

Ciao e grazie ancora