Problema scomparso

[Thomas16]

ieri da qualche parte c'era un utente che chiedeva di dimostrare che se f è un polinomio a radici reali, allora $(f')^2-ff''$ non ha radici reali....
volevo dare una mano che mi sembrava interessante da discutere ma non c'è più.... o sono io ciula a non trovarlo?

[Steven11]

E' scomparso anche un problema di geometria dello stesso autore, che credo sia stato bannato.
Era in "Medie e superiori".

Comunque il polinomio era a coefficienti reali e aveva radici tutte reali e distinte.
Sai, dopo aver visto che spariva il topic col problema di geometria, mi sono sbrigato a ricopiare almeno questo, visto che mi pareva interessante.

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"Steven":E' scomparso anche un problema di geometria dello stesso autore, che credo sia stato bannato.

E' lecito conoscere il motivo del ban?

[G.D.5]

Suppongo che l'utente bannato fosse in realtà un utente già bannato.

[Thomas16]

"Steven":E' scomparso anche un problema di geometria dello stesso autore, che credo sia stato bannato.
Era in "Medie e superiori".

Comunque il polinomio era a coefficienti reali e aveva radici tutte reali e distinte.
Sai, dopo aver visto che spariva il topic col problema di geometria, mi sono sbrigato a ricopiare almeno questo, visto che mi pareva interessante.

Ciao steven quanto tempo!!!!! .... è bello trovarti sul forum ... (Fatti sentire ogni tanto, non fare il cafonazzo come me )

si mi ha avvisato un moderatore via PM...

il problema sembra carino, come molti di quelli proposti dall'utente bannato (per motivi legati a suoi messaggi riguardanti argomenti politici, ndr diretta a Martino) ...
io avevo in mente un tentativo di soluzione che mi pareva divertente e volevo proporlo, anche per capire quanto vi era di corretto nel mio approccio...

però a questo punto non mi pare il caso di riesumare il topic, cioè io non ho il tempo di controllarlo... ma stò utente se cerca di rientrare così, vuol dire che gli interessa la matematica, e sarebbe disposto a rientrare nella comunità senza esporre più teorie politiche o di attualità, ma solo matematica... o no?

[_luca.barletta]

"Thomas":

però a questo punto non mi pare il caso di riesumare il topic, cioè io non ho il tempo di controllarlo... ma stò utente se cerca di rientrare così, vuol dire che gli interessa la matematica, e sarebbe disposto a rientrare nella comunità senza esporre più teorie politiche o di attualità, ma solo matematica... o no?

direi di no: nel frattempo che scriveva quel topic ne apriva un altro, con un altro nickname, di politica pura.

[zorn801]

Beh il problema sembra interessante al di là del resto che nn so

[Steven11]

"Thomas":
Ciao steven quanto tempo!!!!! .... è bello trovarti sul forum ... (Fatti sentire ogni tanto, non fare il cafonazzo come me )

Ciao carissimo
non è troppo tempo alla fine, dai

io avevo in mente un tentativo di soluzione che mi pareva divertente e volevo proporlo, anche per capire quanto vi era di corretto nel mio approccio...

Oggi, durante una noiosa interrogazione di altri, ho provato a seguire una strada, che purtroppo non sono riuscito ad approfondire.
Se ti va di dire come hai proceduto tu mi farebbe piacere

Buon fine settimana

[G.D.5]

Tanto per capire qual è il problema, potreste scrivere la traccia?

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Mi pare proprio che l'enunciato di Thomas sia scorretto: si richiedeva di dimostrare che se $f(x)$ è un polinomio a coefficienti reali con radici reali distinte allora $(f'(x))^2-f(x)f''(x)$ non ha radici reali.

Spero di ricordare bene.

[Steven11]

"Martino":Mi pare proprio che l'enunciato di Thomas sia scorretto: si richiedeva di dimostrare che se $f(x)$ è un polinomio a coefficienti reali con radici reali distinte allora $(f'(x))^2-f(x)f''(x)$ non ha radici reali.

Spero di ricordare bene.

Si si, è giusto come dici, ma non mi pare che Thomas abbia detto una cosa diversa nel primo post

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Steven":[quote="Martino"]Mi pare proprio che l'enunciato di Thomas sia scorretto: si richiedeva di dimostrare che se $f(x)$ è un polinomio a coefficienti reali con radici reali distinte allora $(f'(x))^2-f(x)f''(x)$ non ha radici reali.

Spero di ricordare bene.

Si si, è giusto come dici, ma non mi pare che Thomas abbia detto una cosa diversa nel primo post [/quote]

Beh, non ha detto che i coefficienti erano reali e le radici erano distinte

[Steven11]

Ah ok, giusto.

[Gamma3]

forse ho la soluzione, ma non sono convinto pienamente....

se prendiamo un polinomio w che ha coefficienti reali e radici reali e distinte lo scomponiamo nei suoi componenti z*d*f*s=w e sostituiamo, otteniamo:

`((zdfs)')^2 - zdfs*(zdfs)''

che semplificando ci da:
`(zdf(s)'+zds(f)'+szf(d)'+dfs(z)')^2 - zdfs*(zdf(s)'+zds(f)'+szf(d)'+dfs(z)')'

qua diventa un po una rottura dire cosa si fa, cmq da una parte si ottengono i doppi prodotti che vanno via con la somma tra gli addendi senza la derivata seconda dell'altra parte.... lascando i quadrati dei membri della prima parte meno i termini che contengono la derivata seconda:

`(zdf(s)')^2+(zds(f)')^2+(szf(d)')^2+(dfs(z)')^2 - wzdf(s)''-wzds(f)''+wszf(d)''+wdfs(z)''

qua ci sarebbe la parte che non sta troppo in piedi.... perche se il polinomio ha tante soluzioni quanto il suo grado, allora ogni componente e di primo grado. di conseguenza le loro derivate seconde sono 0, di conseguenza la seconda parte sparisce da sola.... nella prima invece ogni derivata e solo un numero percio avremmo una somma di 4 polinomi di 4 grado.... la somma non puo essere mai nulla....

[Gamma3]

no no no... sta in piedi perfettamente! il problema si poneva se uno dei suoi componenti fosse di secondo grado allora la sua derivata seconda non sarebbe stata zero, ma ripensandoci, raccogliendo per esempio `(zdf)^2((s')^2-ss'')
con s di secondo grado, la derivata prima diventava di primo grado e rielevandola ridiventava di secondo... meno un polinomio di primo grado rimaneva di secondo e non dovrebbe dare problemi...

[zorn801]

Scusate, se $f=(x-x_0)^3$ allora $(f')^2-f''f=9(x-x_0)^4-6(x-x_0)^4 = 3(x-x_0)^4$.

Quindi nn è falso l'asserto?

Per lo meno le radici dovrebbero essere distinte.

[Sk_Anonymous]

"Martino":dimostrare che se $f(x)$ è un polinomio a coefficienti reali con radici reali distinte allora $(f'(x))^2-f(x)f''(x)$ non ha radici reali.

Infatti l'enunciato corretto era questo.

[Thomas16]

si ok... a questo punto mi scuso... non volevo mica riproporre il problema qua con un enunciato corretto: era giusto per far capire quale era!

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Un'idea...
Mi scuso per eventuali errori, ma mi sembra che funzioni.

Per cominciare, se $f(x)$ è un polinomio, allora $a$ è uno zero multiplo per $f$ se e solo se è uno zero sia di $f$ che di $f'$ (questo è un fatto noto, e facile da dimostrare). Scriviamo $f(x)=(x-a_1)...(x-a_n)$, dove $a_1,...,a_n$ sono gli zeri di $f$ (in tutta generalità, nel caso in cui tutti gli zeri di f siano reali). Consideriamo $g(x)=log(|f(x)|) = \sum_{i=1}^n log(|x-a_i|)$. La derivata seconda di g è allora $\sum_{i=1}^n (-1)/((x-a_i)^2)$, e quindi non è mai nulla dove è definita.
Ma se calcoliamo la derivata seconda di g nel modo solito, troviamo $D^2(g(x))=D^1((f'(x))/(f(x)))=(f(x)f''(x)-f'(x)^2)/(f(x)^2)$. Allora questa quantità non si annulla mai dove è definita, ovvero al di fuori degli zeri della $f$. Ne segue che se esiste $a in RR$ tale che $f(a)f''(a)-f'(a)^2=0$ allora anche $f(a)=0$. Ma allora $0=f(a)f''(a)-f'(a)^2=-f'(a)^2$, quindi $f(a)=f'(a)=0$. Quindi $a$ è una radice comune a $f$ e $f'$, quindi è una radice multipla di $f$.

[Steven11]

Grazie per la soluzione Martino (anche se in ritardo).
Chissà se quella di Thomas è uguale.