Problema risoulzione integrale

[Demostene92]

Ciao a tutti!
Ho un problema con questo integrale! Non mi viene per un soffio.

$int xsqrt[sinx^2]cosx^2 dx$

Ho ragionato in questo modo: posto $x^2=t$ ottengo che $x=sqrt(t)$ e che $dx=1/(2sqrt(t))dt$.
Quindi si ha:

$int sqrt(t)sqrt[sint]cost 1/(2sqrt(t))dt$ da cui: $1/2int sqrt[sint]cost dt$

Integrando per parti, considerando $cost=f'(x)$ e considerando $sqrt[sint]=g(x)$ ottengo:

$1/2int sqrt[sint]cost dt=1/2[sintsqrt(sint)-int 1/2sqrt[sint]cost dt]$
$int sqrt[sint]cost dt=sintsqrt(sint)-1/2int sqrt[sint]cost dt$
$3/2int sqrt[sint]cost dt=sintsqrt(sint)$

Arrivando infine ad avere:

$int sqrt[sint]cost dt=2/3(sint)^(3/2)$

E quindi $2/3(sinx^2)^(3/2)$, ma il risultato deve essere $1/3(sinx^2)^(3/2)$.. Non riesco a capire dove sbaglio!

[poncelet]

Ciao,
il tuo procedimento è giusto, solo che sbagli alla fine.
Infatti tu ricavi che \(\int\sqrt{\sin t}\cos tdt=\frac{2}{3}(\sin t)^{\frac{3}{2}}\). Ed è corretto. Poi però devi ricordare che \(\int x\sqrt{\sin x^{2}}\cos x^{2}dx=\frac{1}{2}\int \sqrt{\sin t}\cos tdt=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}(\sin t)^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}(\sin t)^{\frac{3}{2}}\)

[Ziben]

Ciao,
volevo farti notare che $(sinx^2)'=2xcosx^2$, quindi l'integrale di partenza può essere scritto:

$1/2int_()^() sqrt(sinx^2)*2xcosx^2dx$ e hai la forma $int_()^() f^alpha(x)f'(x)dx = (f^(alpha+1)(x))/(alpha+1)$ (in questo tuo esercizio $alpha = 1/2$)

In ogni caso il tuo procedimento è corretto tranne all'ultimo passaggio come ti ha mostrato maxsiviero

[Demostene92]

Ahhhhhh!
E' vero grazie mille che idiota che sono