Problema riguardo le funzioni inverse
Buondì, avrei un dubbio concettuale riguardo il calcolo di una funzione inversa. L'esercizio mi chiede di trovare le inverse delle seguenti quattro funzioni:
1) $ f(x)=sqrt(4-x^2) $
2) $ f(x))=x^2/(1-x^2) $
3) $ f(x)=(logx-1)^2 $
4) $ f(x)=sinx+cosx $
Ora, il mio problema è che queste funzioni non sono iniettive. Dunque, non potrebbero essere invertite. Che io sappia restringendo il dominio si può rendere suriettiva una funzione, ma la (non) iniettività non è prescindibile. Eppure le risposte che ho parlano di funzioni ristrette a un particolare sottoinsieme del dominio... mi sono perso qualcosa? Probabilmente sì.
Grazie mille
1) $ f(x)=sqrt(4-x^2) $
2) $ f(x))=x^2/(1-x^2) $
3) $ f(x)=(logx-1)^2 $
4) $ f(x)=sinx+cosx $
Ora, il mio problema è che queste funzioni non sono iniettive. Dunque, non potrebbero essere invertite. Che io sappia restringendo il dominio si può rendere suriettiva una funzione, ma la (non) iniettività non è prescindibile. Eppure le risposte che ho parlano di funzioni ristrette a un particolare sottoinsieme del dominio... mi sono perso qualcosa? Probabilmente sì.
Grazie mille
Risposte
Non si capisce quale sia la tua domanda.
Sì, le funzioni che hai vanno ristrette a un particolare (non necessariamente univoco) sottoinsieme del dominio.
Sì, le funzioni che hai vanno ristrette a un particolare (non necessariamente univoco) sottoinsieme del dominio.
Ciao Silence,
Restringendo il dominio puoi rendere la funzione iniettiva, infatti prendiamo come esempio la funzione $ f(x)=x^2 $ ovviamente non risulta iniettiva, infatti se $ f(x_1)=f(x_2):x_1!=x_2 $.
Però restringendo il dominio, ad esempio considerando l'intervallo per cui le x sono: $ x>=0 $ la funzione risulta iniettiva. Infatti l'inversa è proprio $ x=sqrty $.
Per farla breve, al fine di rendere una funzione iniettiva operiamo restringendo l'insieme di definizione, per renderla suriettiva invece operiamo restringendo il codominio.
Restringendo il dominio puoi rendere la funzione iniettiva, infatti prendiamo come esempio la funzione $ f(x)=x^2 $ ovviamente non risulta iniettiva, infatti se $ f(x_1)=f(x_2):x_1!=x_2 $.
Però restringendo il dominio, ad esempio considerando l'intervallo per cui le x sono: $ x>=0 $ la funzione risulta iniettiva. Infatti l'inversa è proprio $ x=sqrty $.
Per farla breve, al fine di rendere una funzione iniettiva operiamo restringendo l'insieme di definizione, per renderla suriettiva invece operiamo restringendo il codominio.
"Papercut":
Per farla breve, al fine di rendere una funzione iniettiva operiamo restringendo l'insieme di definizione, per renderla suriettiva invece operiamo restringendo il codominio.
Questo era esattamente quel che mi serviva, grazie infinite.
Scusate se riapro la questione, mi è sorto un secondo dubbio... il concetto mi è ora chiaro, so come procedere, ma vorrei sapere se ci siano modi meno dispersivi per rendere biiettiva una funzione. Mi spiego con uno degli esempi di cui sopra:
$ f(x)=sinx+cosx $
Chiaramente non è iniettiva, potrei ad esempio prendere $ x_1 = pi/6 $ e $ x_2 = pi/3 $ e l'uguaglianza sarebbe verificata. Ora, dopo una serie di tentativi "a occhio" ho concluso che il sottoinsieme di definizione per cui quella funzione diventa iniettiva è $ [-3/4pi, pi/4] $.
Il punto è che ad esempio per $ f(x)=x^2 $ è facile rendersi conto che il problema sono le radici negative, e dunque basta ignorarle, ma per funzioni più complesse, posso comunque solo procedere "a occhio" o c'è un ragionamento specifico che dovrei fare?
Chiedo scusa se si tratta di domande banali, ma preferisco davvero capire a fondo ogni aspetto del procedimento.
Ancora grazie e buon anno a voi!
$ f(x)=sinx+cosx $
Chiaramente non è iniettiva, potrei ad esempio prendere $ x_1 = pi/6 $ e $ x_2 = pi/3 $ e l'uguaglianza sarebbe verificata. Ora, dopo una serie di tentativi "a occhio" ho concluso che il sottoinsieme di definizione per cui quella funzione diventa iniettiva è $ [-3/4pi, pi/4] $.
Il punto è che ad esempio per $ f(x)=x^2 $ è facile rendersi conto che il problema sono le radici negative, e dunque basta ignorarle, ma per funzioni più complesse, posso comunque solo procedere "a occhio" o c'è un ragionamento specifico che dovrei fare?
Chiedo scusa se si tratta di domande banali, ma preferisco davvero capire a fondo ogni aspetto del procedimento.
Ancora grazie e buon anno a voi!
Diciamo che questo è sempre un caso particolare, dato che $sinx,cosx$ sono entrambe periodiche.
In generale se la funzione é derivabile allora devi studiare il segno della derivata.
Se in un intervallo $I$ la derivata ha segno costante, allora la funzione è ivi iniettiva.
In generale se la funzione é derivabile allora devi studiare il segno della derivata.
Se in un intervallo $I$ la derivata ha segno costante, allora la funzione è ivi iniettiva.
Buon anno!
Un'ulteriore metodologia non fa altro che utilizzare la definizione di iniettività: presi due punti \(x_1,x_2\) del dominio di una funzione \(f\) si vuole verificare che \(f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2,\>\forall x_1,x_2\) (o, equivalentemente, \(x_1\neq x_2\implies f(x_1)\neq f(x_2),\>\forall x_1,x_2\)).
"Silence":Le restrizioni del dominio al fine di rendere una funzione iniettiva non vanno assolutamente svolte "a occhio", come del resto tutta la matematica. Per capire quale possa essere una tale restrizione si può svolgere uno studio di funzione (più o meno limitato in dipendenza di quanto della funzione di partenza si desideri invertire). Ad esempio, il coseno decresce in \((0,\pi)\) e cresce in \((\pi,2\pi)\). Ciò significa che nel secondo intervallo la funzione assume valori già assunti in precedenza: il dominio va ristretto al primo intervallo dove l'andamento è di decrescente monotonia. Sommariamente, un semplice e limitato studio di funzione può rispondere esaustivamente.
per funzioni più complesse, posso solo procedere "a occhio" o c'è un ragionamento specifico che dovrei fare?
Un'ulteriore metodologia non fa altro che utilizzare la definizione di iniettività: presi due punti \(x_1,x_2\) del dominio di una funzione \(f\) si vuole verificare che \(f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2,\>\forall x_1,x_2\) (o, equivalentemente, \(x_1\neq x_2\implies f(x_1)\neq f(x_2),\>\forall x_1,x_2\)).
Chiaramente non è iniettiva, potrei ad esempio prendere $ x_1 = pi/6 $ e $ x_2 = pi/3 $ e l'uguaglianza sarebbe verificata. Ora, dopo una serie di tentativi "a occhio" ho concluso che il sottoinsieme di definizione per cui quella funzione diventa iniettiva è $ [-3/4pi, pi/4] $.Una maniera per capire bene questo esercizio è riscrivere più compattamente la funzione \(f(x)=\sin{x}+\cos{x}\) nella maniera seguente:\[\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{x}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{x}\right)=\sqrt{2}\left(\sin{\frac{\pi}{4}}\sin{x}+\cos{\frac{\pi}{4}}\cos{x}\right)=\sqrt{2}\cos{\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}\]Detta \(t=x-\frac{\pi}{4}\) ci è sufficiente studiare \(f(t)=\sqrt{2}\cos{t}\) che sappiamo essere iniettiva in ogni semiperiodo, ad esempio \(\forall t\in[-\pi,0]\) e cioè \(\forall x\in[-\frac{3}{4}\pi,\frac{\pi}{4}]\).
"Ernesto01":
Diciamo che questo è sempre un caso particolare, dato che $sinx,cosx$ sono entrambe periodiche.
In generale se la funzione é derivabile allora devi studiare il segno della derivata.
Se in un intervallo $I$ la derivata ha segno costante, allora la funzione è ivi iniettiva.
Questo aiuta molto, ti ringrazio. Una curiosità: se ad esempio considero la prima funzione, la cui derivata è
$f'(x)= -x/(sqrt(4-x^2))$ di dominio $D:-2
e ne studio il segno, ottengo che essa è positiva per $x<0$, che ovviamente significa $-2
A questo punto, che io consideri $I=[-2;0]$ o $I'=[0;2]$ al fine di renderla iniettiva, fa differenza? Suppongo di sì, altrimenti potrei dire che la sua inversa (che calcolata viene $f^-1(x)=sqrt(4-x^2)$) lo è sia per
$[-2;0]->[-2;0]$ che per $[0;2]->[0;2]$, ma a questo punto verrebbe meno il principio che il segno della derivata dev'essere costante. O probabilmente sto dicendo scemenze io, abbi pazienza...
"seb":
Una maniera per capire bene questo esercizio è riscrivere più compattamente la funzione \(f(x)=\sin{x}+\cos{x}\) nella maniera seguente:\[\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{x}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{x}\right)=\sqrt{2}\left(\sin{\frac{\pi}{4}}\sin{x}+\cos{\frac{\pi}{4}}\cos{x}\right)=\sqrt{2}\cos{\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}\]Detta \(t=x-\frac{\pi}{4}\) ci è sufficiente studiare \(f(t)=\sqrt{2}\cos{t}\) che sappiamo essere iniettiva in ogni semiperiodo, ad esempio \(\forall t\in[-\pi,0]\) e cioè \(\forall x\in[-\frac{3}{4}\pi,\frac{\pi}{4}]\).
In effetti torna perfettamente. Il mio problema non è tanto capire il ragionamento, quanto costruirlo. Pensare di compattare la funzione come hai fatto tu, una volta che lo vedo, mi pare assolutamente sensato. Arrivare a pensare di procedere così, però... grazie mille per la spiegazione!
In realtá ti faccio notare che questo problema lo ottieni anche con la funzione $f(x)=cosx$
Puoi prendere $I=[0,pi]$ , ma anche qualsiasi altro intervallo del tipo $I_k=[kpi,k(pi+1)]$, $k in NN$.
Quindi hai infinite scelte, e ne scegli una per convenzione
Puoi prendere $I=[0,pi]$ , ma anche qualsiasi altro intervallo del tipo $I_k=[kpi,k(pi+1)]$, $k in NN$.
Quindi hai infinite scelte, e ne scegli una per convenzione
Perfetto, torna tutto, grazie mille!
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