Problema "strano" sulle equazioni differenziali
Salve a tutti, sto impazzendo con questo problemino:
Data l'equazione differenziale
$y' +a(t)y=f(t)$
con a(t) e f(t) definite e continue in R e soddisfacenti le proprietà
$a(t)>=c$ per ogni t e una opportuna costante positiva c
$f(t)>=0$ per ogni t
il limite a $+oo$ di f(t) è 0
determinare il comune limite per t tendente a $+oo$ di tutte le sue soluzioni.
Ci penso da parecchio, ma non riesco veramente a venirne fuori. Ho provato a scegliere delle funzioni a(t) e f(t) particolari. Trovare delle funzioni che soddisfano le richieste è ovviamente banale, ma poi integrare l'equazione diventa complesso. E ho sempre la sensazione di risolvere in tal modo un "problema particolare", non quello generale richiesto!
Come si può fare?
Grazie mille
Saturn V
Data l'equazione differenziale
$y' +a(t)y=f(t)$
con a(t) e f(t) definite e continue in R e soddisfacenti le proprietà
$a(t)>=c$ per ogni t e una opportuna costante positiva c
$f(t)>=0$ per ogni t
il limite a $+oo$ di f(t) è 0
determinare il comune limite per t tendente a $+oo$ di tutte le sue soluzioni.
Ci penso da parecchio, ma non riesco veramente a venirne fuori. Ho provato a scegliere delle funzioni a(t) e f(t) particolari. Trovare delle funzioni che soddisfano le richieste è ovviamente banale, ma poi integrare l'equazione diventa complesso. E ho sempre la sensazione di risolvere in tal modo un "problema particolare", non quello generale richiesto!
Come si può fare?
Grazie mille
Saturn V
Risposte
Ricorda che la soluzione generale di un'equazione differenziale lineare del primo ordine si scrive:
$y(t) = exp(-\int_(t_0)^t a(s)ds) {y_0 + \int_(t_0)^t f(s) * exp(\int_(t_0)^s a(z)dz) ds}$.
Chiamando $A(t)$ una primitiva di $a(t)$ puoi riscriverla come:
$y(t) = e^(-A(t)) {y_0 e^(A(t_0)) + \int_(t_0)^t f(s) * e^(A(s)) ds}$.
Credo che questa forma possa esserti utile per applicare quelle considerazioni.
$y(t) = exp(-\int_(t_0)^t a(s)ds) {y_0 + \int_(t_0)^t f(s) * exp(\int_(t_0)^s a(z)dz) ds}$.
Chiamando $A(t)$ una primitiva di $a(t)$ puoi riscriverla come:
$y(t) = e^(-A(t)) {y_0 e^(A(t_0)) + \int_(t_0)^t f(s) * e^(A(s)) ds}$.
Credo che questa forma possa esserti utile per applicare quelle considerazioni.
ciao Eredir anch'io avevo pensato a qualcosa del genere però scusa noi $f(t)$ non sappiamo come tende a zero, cioè non sappiamo se il suo integrale converge o meno. questo mi è parso un problema importante, per cui ho cercato un'altra via...
premetto che è molto a spanne, però spero di essere sulla strada giusta:
innanzitutto ho diviso per $a(t)$, considerando che tanto non si annulla mai, per cui ho ottenuto:
$(y')/(a(t)) + y = f(t)/(a(t))$
da cui, passando al limite
$lim_(t->+oo) |(y')/(a(t)) + y| = lim_(t->+oo) |f(t)/(a(t))| <= lim_(t->+oo) |f(t)/c| = 0$ [1]
perciò si hanno due casi:
se $lim_(t->+oo) y = L in RR$ finito, allora ovviamente $lim_(t->+oo) y'=0$ da cui segue (dalla [1]) $lim_(t->+oo) y=0$
se invece $L$ fosse infinito, allora, poichè la [1] deve comunque valere, si dovrebbe avere una forma di indecisione del tipo $[+oo-oo]$, ma ciò non è possibile poichè $y$ è continua e il limite è a $+oo$, per cui la funzione e la derivata hanno lo stesso segno definitivamente.
nella speranza di non averne scritte di troppo grosse vi auguro un buon anno!!
premetto che è molto a spanne, però spero di essere sulla strada giusta:
innanzitutto ho diviso per $a(t)$, considerando che tanto non si annulla mai, per cui ho ottenuto:
$(y')/(a(t)) + y = f(t)/(a(t))$
da cui, passando al limite
$lim_(t->+oo) |(y')/(a(t)) + y| = lim_(t->+oo) |f(t)/(a(t))| <= lim_(t->+oo) |f(t)/c| = 0$ [1]
perciò si hanno due casi:
se $lim_(t->+oo) y = L in RR$ finito, allora ovviamente $lim_(t->+oo) y'=0$ da cui segue (dalla [1]) $lim_(t->+oo) y=0$
se invece $L$ fosse infinito, allora, poichè la [1] deve comunque valere, si dovrebbe avere una forma di indecisione del tipo $[+oo-oo]$, ma ciò non è possibile poichè $y$ è continua e il limite è a $+oo$, per cui la funzione e la derivata hanno lo stesso segno definitivamente.
nella speranza di non averne scritte di troppo grosse vi auguro un buon anno!!
Mi pare una buona soluzione, $e^(i\theta)$. 
wow grazie!!!
OT: la tua firma mi fa troppo morire!!!!!
OT: la tua firma mi fa troppo morire!!!!!
no attenti che manca ancora un passaggio prima di cantar vittoria: dimostrare l'esistenza del limite comune 
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hai ragione thomas!!!!
questo è il motivo per cui non si devono mai prendere le mie parole per giuste!!!:D
inoltre pensavo fosse un problemino facilmente risovibile e invece non ci arrivo immediatamente...per cui posto le scuse per la soluzione incompleta e chiedo un aiutino-ino-ino a thomas..please!!
ciao
questo è il motivo per cui non si devono mai prendere le mie parole per giuste!!!:D
inoltre pensavo fosse un problemino facilmente risovibile e invece non ci arrivo immediatamente...per cui posto le scuse per la soluzione incompleta e chiedo un aiutino-ino-ino a thomas..please!!
ciao
le parole di nessuno devono essere prese per giuste 
... ma sempre controllate, se ne si ha il tempo ovviamente... questo vale anche per quanto scrivo sotto ...
in quanto al problema io cercherei di usare il grafico del segno del sistema... (non ricordo come si chiami)...
insomma il piano (y,t) con indicate le regioni in cui la derivata della soluzione dell'equazione differenziale è positiva, negativa o nulla... come sono fatte queste regioni? ne sappiamo qualcosa?
E considerate queste zone, quali possono essere i comportamenti diversi della soluzione?
... ma sempre controllate, se ne si ha il tempo ovviamente... questo vale anche per quanto scrivo sotto ...in quanto al problema io cercherei di usare il grafico del segno del sistema... (non ricordo come si chiami)...
insomma il piano (y,t) con indicate le regioni in cui la derivata della soluzione dell'equazione differenziale è positiva, negativa o nulla... come sono fatte queste regioni? ne sappiamo qualcosa?
E considerate queste zone, quali possono essere i comportamenti diversi della soluzione?
Il suggerimento del mio prof è stato "Si può iniziare per esempio prendendo a(t) uguale ad una costante positiva e f(t) una specifica funzione che soddisfi le ipotesi."
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Saturn
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Saturn
allora, scrivo qualcosa...
i punti con derivata nulla stanno sulla retta $y=(f(t))/(a(t))$, e vista come $y=y(t)$ questa funzione tende a 0 per le ipotesi, e i punti "sopra" questa funzione hanno derivata negativa (regione 1), quelli "sotto" derivata positiva (regione 2). Ora se la soluzione sta definitivamente nella regione "sopra" è decrescente e limitata dal basso-->ammette limite...
analogamente se sta sempre nella regione 2...
se la funzione passa frequentemente dalla regione 1 alla regione 2, per come sono fatte le derivate, dovrà "oscillare" attorno alla funzione $y(t)$... e usando questo si vede che ammette comunque limite 0... (ora non ho tempo di scrivere rigorosamente il tutto, mi spiace ma sono impegnato con altre faccende...)
spero sia corretto cmq...
i punti con derivata nulla stanno sulla retta $y=(f(t))/(a(t))$, e vista come $y=y(t)$ questa funzione tende a 0 per le ipotesi, e i punti "sopra" questa funzione hanno derivata negativa (regione 1), quelli "sotto" derivata positiva (regione 2). Ora se la soluzione sta definitivamente nella regione "sopra" è decrescente e limitata dal basso-->ammette limite...
analogamente se sta sempre nella regione 2...
se la funzione passa frequentemente dalla regione 1 alla regione 2, per come sono fatte le derivate, dovrà "oscillare" attorno alla funzione $y(t)$... e usando questo si vede che ammette comunque limite 0... (ora non ho tempo di scrivere rigorosamente il tutto, mi spiace ma sono impegnato con altre faccende...)
spero sia corretto cmq...
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