Problema Quesito numeri complessi

[alexalex94]

In un test di analisi 1 ho trovato quesito che chiedeva quanto valeva una radice quarta di -4.

Io ho seguito questo procedimento:

$ root (4) ((-1)4) = root (4) ((2i)^2) = root(2)(2i)= root (4) (-1) * root(2) (2)$

La soluzione del quesito però è $1-i$.
Ho controllato su Wolfram Alpha quanto tornava, e come risultato da il mio, ma in forme alternative mi da che torna anche $1+i$.

Prima domanda, come si fa ad arrivare al risultato $1-i$?
Seconda domanda, quanto torna veramente? $1+i$ o $1-i$?

Grazie in anticipo, ci sto ammattendo

[Gi81]

Bisogna trovare un numero complesso $a+ib$ tale che $(a+ib)^4= -4$.
Dato che $(2i)^2= -4$, ci basta trovare un numero complesso tale che $(a+ib)^2= 2i$, cioè
$a^2-b^2+2iab=2i=> {(a^2=b^2),(ab=1):}=> {(a=1),(b=1):} vv {(a= -1),(b= -1):}$
Dunque ne ho trovati due: $z_1= 1+i$ e $z_2= -1-i $ ($= -z_1$).

Ovviamente le radici quarte di un numero, in ambito complesso, sono quattro. Come si trovano le due rimanenti?
Notando che anche $(-2i)^2 = -4$, dunque se risolviamo $(a+ib)^2 = -2i$ troviamo $z_3= 1-i$ e $z_4= -1+i= -z_3$

Qual è stato il tuo errore? ... nessuno, solo che non sei andato da nessuna parte. Una volta arrivato a $root4(-4)= root4(-1)sqrt(2)$, non hai scritto nulla di interessante

[alexalex94]

Grazie mille a tutti e due