Problema PDE parabolica
Salve ragazzi, è un pò che non scrivo qui sul forum. Sono incappato in un problema che mi sta turbando da tutta la giornata: sto preparando l'esame di complementi di metodi matematici della fisica, ed esercitandomi ho trovato una parabolica abbastanza interessante:
$ \partial_t u = c \partial^2_x u +e^t \sin(x)$
su una retta infinita, e con condizioni iniziali $u(x,0)= \cos(x) + 3 \sin(x)$
Ora il procedimento per risolverla porta a dover fare l'antitrasformata di due prodotti di convoluzione: uno per la soluzione dell'omogenea, ed uno per la soluzione particolare, le quali alla fine vanno sommate.
Il mio blocco arriva nella risoluzione dell'integrale:
$ \frac{1}{2 \sqrt{\pi t c}} \int_{\mathbb{R}} \cos{\xi} exp ( -\frac{(x- \xi)^2}{4tc} ) d \xi $
Qualcuno può aiutarmi? Io ho provato a sostituire il seno con gli esponenziali complessi per poi risolvere due integrali gaussiani con il completamento del quadrato (che appunto, non riesco a completare) o sennò mi era venuto in mente di passare per i complessi direttamente ed applicare il teorema di cauchy su un cammino chiuso e quindi avrei come risultato $ 2 \pi i $ moltiplicato alla costante davanti l'integrale.. È giusto ragionare cosi?
Grazie mille a tutti!
$ \partial_t u = c \partial^2_x u +e^t \sin(x)$
su una retta infinita, e con condizioni iniziali $u(x,0)= \cos(x) + 3 \sin(x)$
Ora il procedimento per risolverla porta a dover fare l'antitrasformata di due prodotti di convoluzione: uno per la soluzione dell'omogenea, ed uno per la soluzione particolare, le quali alla fine vanno sommate.
Il mio blocco arriva nella risoluzione dell'integrale:
$ \frac{1}{2 \sqrt{\pi t c}} \int_{\mathbb{R}} \cos{\xi} exp ( -\frac{(x- \xi)^2}{4tc} ) d \xi $
Qualcuno può aiutarmi? Io ho provato a sostituire il seno con gli esponenziali complessi per poi risolvere due integrali gaussiani con il completamento del quadrato (che appunto, non riesco a completare) o sennò mi era venuto in mente di passare per i complessi direttamente ed applicare il teorema di cauchy su un cammino chiuso e quindi avrei come risultato $ 2 \pi i $ moltiplicato alla costante davanti l'integrale.. È giusto ragionare cosi?
Grazie mille a tutti!
Risposte
Quell'integrale di convoluzione non ha una "bella faccia"... Insomma, dubito che esso sia risolubile in termini elementari.
Hai provato a vedere che succede se usi \(\cos \xi = \frac{1}{2} (e^{\imath \xi} +e^{-\imath \xi})\)?
Altrimenti, conosci altri metodi per risolvere problemi del genere?
Hai provato a vedere che succede se usi \(\cos \xi = \frac{1}{2} (e^{\imath \xi} +e^{-\imath \xi})\)?
Altrimenti, conosci altri metodi per risolvere problemi del genere?
Finalmente ci sono riuscito!!!
Allora, il ragionamento è giusto, si trascrive il coseno in forma complessa, soltanto che non è necessario indicare
$ \cos \xi = \frac{1}{2} (e^{ix} + e^{-ix}) $ per intero.
Essendo il coseno la parte reale di $ e^{ix} $ si sostituisce al posto del coseno il termine appena citato, dopodichè si utilizza il metodo del completamento del quadrato per un integrale di tipo Gaussiano, attuando prima il cambio di variabili $ (x - \xi ) = -h $.
Una volta scritto il risultato, si ricorda che $Re( e^{x+iy}) = e^x \cos y $
Allora, il ragionamento è giusto, si trascrive il coseno in forma complessa, soltanto che non è necessario indicare
$ \cos \xi = \frac{1}{2} (e^{ix} + e^{-ix}) $ per intero.
Essendo il coseno la parte reale di $ e^{ix} $ si sostituisce al posto del coseno il termine appena citato, dopodichè si utilizza il metodo del completamento del quadrato per un integrale di tipo Gaussiano, attuando prima il cambio di variabili $ (x - \xi ) = -h $.
Una volta scritto il risultato, si ricorda che $Re( e^{x+iy}) = e^x \cos y $
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