Problema passaggio coordinate polari
Salve a tutti.. Mentre svolgevo un integrale doppio, mi è sorto un piccolo dubbio che ora espongo.
Dovendo fare il cambio di variabili del dominio $ {Dk=(x,y)in R^(2) | x^2 +y^2-4x+4<=1 } $ che sarebbe una circonferenza di centro $ c(2,0)$ e raggio $1$ ho deciso di passare alle coordinate polari:
$ { ( x= rho cos($theta$ ),( y= rho sin($theta$) ):} $
tuttavia mi sorge un dubbio strano, perché andando a fare i conti non mi tornano gli estremi..
Forse per caso ho sbagliato e dovevo scrivere:
$ { ( x= Xo + rho cos($theta$ ),( y=Yo + rho sin($theta$) ):} $
Dove $(Xo, Yo)$ sono le coordinate del centro? Ma è una cosa strana perché questa è una parametrizzazione di una circonferenza..
L'integrale da risolvere sarebbe:
$ int int_D \ 1/(sqrt((x^2+y^2-4x+4)^3))dx \ dy $
che una volta stabilita la giusta sostituzione dovrebbe essere fattibile in pochi passaggi credo..
Dovendo fare il cambio di variabili del dominio $ {Dk=(x,y)in R^(2) | x^2 +y^2-4x+4<=1 } $ che sarebbe una circonferenza di centro $ c(2,0)$ e raggio $1$ ho deciso di passare alle coordinate polari:
$ { ( x= rho cos($theta$ ),( y= rho sin($theta$) ):} $
tuttavia mi sorge un dubbio strano, perché andando a fare i conti non mi tornano gli estremi..
Forse per caso ho sbagliato e dovevo scrivere:
$ { ( x= Xo + rho cos($theta$ ),( y=Yo + rho sin($theta$) ):} $
Dove $(Xo, Yo)$ sono le coordinate del centro? Ma è una cosa strana perché questa è una parametrizzazione di una circonferenza..
L'integrale da risolvere sarebbe:
$ int int_D \ 1/(sqrt((x^2+y^2-4x+4)^3))dx \ dy $
che una volta stabilita la giusta sostituzione dovrebbe essere fattibile in pochi passaggi credo..
Risposte
Si, diciamo che in generale l'applicazione che ti permette di passare da coordinate cartesiane a polari sei tu a deciderla e, questo dipende anche dal tipo di parametrizzazione e quindi dal tipo di curva che hai davanti. Nel nostro caso, parametrizzare imponendo la seconda condizione, ovvero utilizzando le coordinate del centro $(2,0)$ è l'ideale, in quanto semplifica nettamente i calcoli. Non dimenticare poi di inserire lo Jacobiano.
Grazie della risposta 
allora posto la soluzione che ho trovato:
$ { ( x=2+ rho cos ($theta$) ),( Y= rho sin ($theta$ ):} $ per il passaggio in coordinate polari dove andando a sostituire nel dominio iniziale datomi e trovo le limitazioni:
verrebbe $ -1<=rho<=1 $ ma poichè $ rho >=0 $ allora $ 0 <=rho <= 1 $ e poiché non mi vengono fuori limitazioni su $ theta $ (visto che considero tutta la circonferenza) allora scrivo: $ 0<= theta<= 2 pi $
$ rho $ è il mio jacobiano
l'integrale mi diventa:
$ int int_(0)^(1) rho/(sqrt((rho^2)^3))\ d rho \ d theta $
con semplici passaggi arrivo a:
$ int int_(0)^(1) rho^(-2)\ d rho \ d theta $
risolvendo ottengo come risultato $ -2pi $ ..
Tutto torna??
allora posto la soluzione che ho trovato:
$ { ( x=2+ rho cos ($theta$) ),( Y= rho sin ($theta$ ):} $ per il passaggio in coordinate polari dove andando a sostituire nel dominio iniziale datomi e trovo le limitazioni:
verrebbe $ -1<=rho<=1 $ ma poichè $ rho >=0 $ allora $ 0 <=rho <= 1 $ e poiché non mi vengono fuori limitazioni su $ theta $ (visto che considero tutta la circonferenza) allora scrivo: $ 0<= theta<= 2 pi $
$ rho $ è il mio jacobiano
l'integrale mi diventa:
$ int int_(0)^(1) rho/(sqrt((rho^2)^3))\ d rho \ d theta $
con semplici passaggi arrivo a:
$ int int_(0)^(1) rho^(-2)\ d rho \ d theta $
risolvendo ottengo come risultato $ -2pi $ ..
Tutto torna??
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