Problema particolare su eq. diff. II° grado
leggete un po' qui la discussione che ho fatto con Ottusangolo per farvi un'idea:
http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=7772
la matematizzazione del fenomeno dovrebbe essere questa:
ho la seguente eq. differenziale:
$\a*ddot x(t)+\b*x(t)+\y(t)=0$
y(t) non si conosce però si hanno delle condizioni al contorno (di cui qualcuna forse sovrabbondante):
$\x(0)=0$;
$\x(t1)=c$;
$\dot x(0)=0$;
$\dot x(t1)=0$;
$\y(t)<0$ per ogni t $\in\(0,t1)$
y(t) continua e derivabile nell'intervallo in questione.
posso esprimere $\max(\ddot x(t))$ nell'intervallo (0,t1) in funzione di a,b,c,t1? o comunque individuare un intervallo tipo: $f1(a,b,c,t1)<\max(\ddot x(t))
http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=7772
la matematizzazione del fenomeno dovrebbe essere questa:
ho la seguente eq. differenziale:
$\a*ddot x(t)+\b*x(t)+\y(t)=0$
y(t) non si conosce però si hanno delle condizioni al contorno (di cui qualcuna forse sovrabbondante):
$\x(0)=0$;
$\x(t1)=c$;
$\dot x(0)=0$;
$\dot x(t1)=0$;
$\y(t)<0$ per ogni t $\in\(0,t1)$
y(t) continua e derivabile nell'intervallo in questione.
posso esprimere $\max(\ddot x(t))$ nell'intervallo (0,t1) in funzione di a,b,c,t1? o comunque individuare un intervallo tipo: $f1(a,b,c,t1)<\max(\ddot x(t))
Risposte
Credo che si riesca a stimare $dot x(t)$ integrando rispetto al tempo l'equazione e usando il lemma di Gromwall... Tuttavia ora non ho tempo per fare quei conti...
Altrimenti si puo' stimare $x(t)$ usando il lemma di Lax-Milgram, pero' occorre sapere qualcosa in piu' sulla $y$ ad esempio la sua norma $L^2$... magari questo conto provo a farlo dopo e lo posto...
*** EDIT ***
Scusa nn avevo letto bene il problema, tutto quello che ho detto prima si puo' fare se il problema e' ben posto, ma il tuo problema non e' ben posto perche' ci sono troppe condizioni al contorno: bastano 2 condizioni per avere esistenza e unicita'. Con 4 i casi sono 2: o 2 le condizioni di troppo non dicono niente di nuovo sul problema o il problema non ammette piu' alcuna soluzione! Quindi dovresti togliere 2 condizioni.
Altrimenti si puo' stimare $x(t)$ usando il lemma di Lax-Milgram, pero' occorre sapere qualcosa in piu' sulla $y$ ad esempio la sua norma $L^2$... magari questo conto provo a farlo dopo e lo posto...
*** EDIT ***
Scusa nn avevo letto bene il problema, tutto quello che ho detto prima si puo' fare se il problema e' ben posto, ma il tuo problema non e' ben posto perche' ci sono troppe condizioni al contorno: bastano 2 condizioni per avere esistenza e unicita'. Con 4 i casi sono 2: o 2 le condizioni di troppo non dicono niente di nuovo sul problema o il problema non ammette piu' alcuna soluzione! Quindi dovresti togliere 2 condizioni.
Ok ho fatto una stima di $x$. Sono venuti fuori un bel po' di conti, tuttavia li ho fatti anche perche' sto' preparando un esame in cui ci saranno da fare cose simili...
PS: Se trovate errori fatemelo sapere....
*** EDIT ***
La stima per $\|u'\|$ nn l'ho riportata, ma si ottiene in maniera analoga e, in ogni caso, non cambia la sostanza del risultato.
*** EDIT2 ***
Il caso con $b=0$ si puo' trattare in maniera analoga, ma bisogna rifare i conti usando la disuguaglianza di Poincare' e quindi cambiando la norma di $H^1$...
PS: Se trovate errori fatemelo sapere....
*** EDIT ***
La stima per $\|u'\|$ nn l'ho riportata, ma si ottiene in maniera analoga e, in ogni caso, non cambia la sostanza del risultato.
*** EDIT2 ***
Il caso con $b=0$ si puo' trattare in maniera analoga, ma bisogna rifare i conti usando la disuguaglianza di Poincare' e quindi cambiando la norma di $H^1$...
Ciao David_e e grazie mille per la disponibilità, il mio problema richiede quelle condizioni al contorno. Il risultato finale mi suona ancora strano, non ho avuto tempo di vedere i tuoi calcoli, cosa che farò prima possibile, ma ecco i miei dubbi: (F(t) può essere considerata come una somma d'impulsi infinitesimi), se si considera, per esempio, F(t) impulsiva (un solo impulso di F(t), agente in un intervallo di tempo infinitesimo che va da 0 a 0+dt), e si pone l'impulso I tale che $I\/\epsilon$=F(0),e si studia l'eq diff., a me risulta che esiste un solo impulso I che verifica le condizioni al contorno! se si studia l'eq diff.,il moto successivo della massa $\ddot x(t)=-(I*\omega_n*sin(\omega_n*t))\/m$, quindi l'accelerazione è limitata, a parte che per un istante infinitesimo che poi è trascurabile, poichè infinitamente vicino al successivo. se è vero ciò per un impulso deve allora essere anche vero per una somma d'impulsi. un gran casino, ora non ho la lucidità necessaria, ho sbagliato?
scusa la mia ignoranza ma se l'accelerazione si mantiene limitata in norma quadratica perchè non anche in valore assoluto?
scusa la mia ignoranza ma se l'accelerazione si mantiene limitata in norma quadratica perchè non anche in valore assoluto?
devo precisare che $\ddot x(t)$ l'ho trovata ponendo $\epsilon$ tendente a 0.
ciao!
ciao!
I conti dovrebbero essere giusti, tranne l'ultimo passaggio in cui ho messo una derivata di troppo... (se trovo il tempo domani metto su i conti aggiustati)
Per stimare $u''$ puntualmente bisognerebbe avere una regolarità almeno $H^3$ nella scala degli spazi di Sobolev, in questo caso la regolarità $H^3$ c'è se $F(t)$ è $C^1([0,t_1])$ (bordo COMPRESO). Per stimare la norma $H^3$, a quel punto, basta derivare un'altra volta tutta l'equazione, fare il cambio di variabili $w=u'$, scrivere la stima di prima per $w'$ e quindi si ottiene la stima per $u''$.
Direi che alla fine dovrebbe risultare che la stima per il massimo $u''$ è uguale a quella che ho messo su $u'$ salvo il fatto che a sinistra compare la norma $L^2$ della derivata di $F$.
Quindi l'accelerazione effettivamente rimane limitata nell'ipotesi di forzante $C^1$. Tuttavia se hai una $F$ impulsiva (quindi certamente non $C^1$) non puoi dire a priori che $u''$ sia puntualmente limitato.... ci sono molte funzioni illimitate che hanno media quadratica limitata, ad esempio la funzione:
$ f(x) = (1/x)^(1/3) $
Su $[0,1]$.
Nel caso in cui $F$ sia un impulso la regolarità è $H^2$, quindi hai velocità limitata, ma l'accelerazione all'istante iniziale è infinita.... (anche se poi si mantiene finita in media quadratica).
Per stimare $u''$ puntualmente bisognerebbe avere una regolarità almeno $H^3$ nella scala degli spazi di Sobolev, in questo caso la regolarità $H^3$ c'è se $F(t)$ è $C^1([0,t_1])$ (bordo COMPRESO). Per stimare la norma $H^3$, a quel punto, basta derivare un'altra volta tutta l'equazione, fare il cambio di variabili $w=u'$, scrivere la stima di prima per $w'$ e quindi si ottiene la stima per $u''$.
Direi che alla fine dovrebbe risultare che la stima per il massimo $u''$ è uguale a quella che ho messo su $u'$ salvo il fatto che a sinistra compare la norma $L^2$ della derivata di $F$.
Quindi l'accelerazione effettivamente rimane limitata nell'ipotesi di forzante $C^1$. Tuttavia se hai una $F$ impulsiva (quindi certamente non $C^1$) non puoi dire a priori che $u''$ sia puntualmente limitato.... ci sono molte funzioni illimitate che hanno media quadratica limitata, ad esempio la funzione:
$ f(x) = (1/x)^(1/3) $
Su $[0,1]$.
Nel caso in cui $F$ sia un impulso la regolarità è $H^2$, quindi hai velocità limitata, ma l'accelerazione all'istante iniziale è infinita.... (anche se poi si mantiene finita in media quadratica).
Nel problema F(t) è $C^1([0,t_1])$.
"gaussz":
Nel problema F(t) è $C^1([0,t_1])$.
In tal caso l'accelerazione si mantiene finita. Infatti, nel caso di problemi ai limiti, abbiamo regolarita' $H^3$ per il teorema di regolarita' delle equazioni ellittiche e, per Sobolev, abbiamo quindi $u \in C^2([0,t_1])$ (quindi $u'' \in C^0([0,t_1])$ e quindi con massimo e minimo finiti). Nel caso di problemi ai valori iniziali basta il buon vecchio Cauchy-Lipshitz per avere regolarita' $C^2$.... (in entrambi i casi la soluzione in realta' e' ancora piu' regolare)
Comunque perche' queste stime a priori abbiano senso devi imporre 2 condizioni al contorno... Che poi dopo la soluzione di un particolare problema con una particolare scelta di $F$ soddisfi altre condizioni non conta. Quelle NON sono condizioni al contorno e non possono entrare nel computo della stima a priori.... (eventualmente possono essere usate per stimare la particolare soluzione individuata).
PS: Non ho capito bene che problema hai risolto prima... l'impulso non e' $C^1$.... (non e' nemmeno una funzione).
Ho visto i tuoi calcoli e anche a me sembrano corretti.
Ho posto $I\/\epsilon=F_0$ con le condizioni $x(0)=0, \dot x(0)=0$ risolto l'eq. $m*\dot x(t)+k*x(t)=F_0$ poi ho trovato le nuove condizioni all'istante t=0 del sistema 'eccitato' dall'impulso facendo il limite della soluzione per $\epsilon$ tendente a 0, poi ho calcolato l'impulso I tale che $x(t_1)=c$ e $\dot x(t_1)=0$ e l'accelerazione massima se non erro era $delta x*\omega_n^2$ e risulta in questo caso che $t_1$ è univoca. Quindi l'accelerazione è infinita solo nell'istante t=0 se F impulsiva, però come dici tu in tal caso $F$ non è $C^1([0,t_1])$, poi ho provato usando la logica a dedurre se l'accelerazione massima era limitata, cosa che tu hai confermato.
Riguardo alle condizioni al contorno, esse devono entrarci per forza qualcosa nel computo della stima, poichè mi sono accorto che l'energia della forzante $E=\int_{\0}^{ t_i}\ F(t)V(t)dt=1\/2bc^2=1\/2k* delta x^2$, per la conservazione dell'energia, cosa che si può dedurre solo dalle condizioni al contorno. Pensavo che dai tuoi calcoli sarebbe venuto fuori, e mi interessava sapere come.
Nel senso se dò due condizioni al contorno, posso stimare l'accelerazione, se ne dò 4 forse posso restringere il campo, oppure determinarla esattamente.
ps: scusa per il $t_1$ dell'integrale ma non so come si fa. ****editato*****
Ho posto $I\/\epsilon=F_0$ con le condizioni $x(0)=0, \dot x(0)=0$ risolto l'eq. $m*\dot x(t)+k*x(t)=F_0$ poi ho trovato le nuove condizioni all'istante t=0 del sistema 'eccitato' dall'impulso facendo il limite della soluzione per $\epsilon$ tendente a 0, poi ho calcolato l'impulso I tale che $x(t_1)=c$ e $\dot x(t_1)=0$ e l'accelerazione massima se non erro era $delta x*\omega_n^2$ e risulta in questo caso che $t_1$ è univoca. Quindi l'accelerazione è infinita solo nell'istante t=0 se F impulsiva, però come dici tu in tal caso $F$ non è $C^1([0,t_1])$, poi ho provato usando la logica a dedurre se l'accelerazione massima era limitata, cosa che tu hai confermato.
Riguardo alle condizioni al contorno, esse devono entrarci per forza qualcosa nel computo della stima, poichè mi sono accorto che l'energia della forzante $E=\int_{\0}^{ t_i}\ F(t)V(t)dt=1\/2bc^2=1\/2k* delta x^2$, per la conservazione dell'energia, cosa che si può dedurre solo dalle condizioni al contorno. Pensavo che dai tuoi calcoli sarebbe venuto fuori, e mi interessava sapere come.
Nel senso se dò due condizioni al contorno, posso stimare l'accelerazione, se ne dò 4 forse posso restringere il campo, oppure determinarla esattamente.
ps: scusa per il $t_1$ dell'integrale ma non so come si fa. ****editato*****
perchè dai tuoi calcoli non è venuto fuori?
Ho capito quello che hai fatto, ma la forzante e' un dato del problema, non e' giusto cercare di determinare la forzante aggiungendo altre condizioni... Anche perche' a quel punto hai gia' in mano la soluzione e non e' necessario fare una stima a priori.
Per le condizioni al contorno. Io ho fatto il conto nel caso Dirichlet (cioe' assegnando $x$ sul bordo di $[0,t_1]$), nel caso Neumann (assegnando la velocita') o nel caso misto la stima e' sostanzialmente la stessa (cambia di poco). Questo perche' la stima che ho scritto discende dalla struttura dell'equazione (e' un'equazione ellittica): per questo tipo di equazioni se $F(t)$ e' la forzante si ha:
$ || u ||_{H^s} \leq C ||F||_{H^{s-2}} $
E:
$ max | u^{(s-1)} | \leq K ||u||_{H^{s}} $
($C$ e $K$ costanti positive dipendenti dalla misura del dominio)
Questo vale indipendentemente dalle condizioni al bordo se:
1. L'equazione e' del tipo $ - a u'' + b u' + c u = F $ ($a > 0,$ $b,c \geq 0$)
2. Il problema e' ben posto. (questo dipende dalle condizioni al contorno)
Per ottenere stime dettagliate e dimostrare la buona posizione del problema si procede, poi, passando dalla formulazione debole del problema, come ho fatto io... Le condizioni tipo Dirichlet (come il valore di $x$ in $t_1$) si fanno sparire facendo un rilevamento (quelle di Neumann sono naturali e non e' necessario fare particolari artifici) e quindi queste condizioni "spariscono" nella $F$. Infatti se guardi nelle mie stime compare non la forzante, ma la forzante piu' un pezzo, che tiene conto della condizione non omogenea al bordo...
Comunque per problemi di questo tipo, in cui la variabile e' il tempo, mi sembra piu' sensato lo studio del problema ai valori iniziali piuttosto che un problema ai limiti (visto che fisicamente non ha molto senso scegliere la configurazione finale). In questo modo la stima e' automatica senza tirare fuori tutto questa matematica (senza passare per spazi di Sobolev e formulazione debole del problema), ma viene dal teorema di regolarita' per soluzioni di problemi di Cauchy. In particolare se $F$ e' continua si ha necessariamente $u \in C^2$ quindi accelerazione limitata... (teorema di Wierstrass funzione continua su un compatto)
Per le condizioni al contorno. Io ho fatto il conto nel caso Dirichlet (cioe' assegnando $x$ sul bordo di $[0,t_1]$), nel caso Neumann (assegnando la velocita') o nel caso misto la stima e' sostanzialmente la stessa (cambia di poco). Questo perche' la stima che ho scritto discende dalla struttura dell'equazione (e' un'equazione ellittica): per questo tipo di equazioni se $F(t)$ e' la forzante si ha:
$ || u ||_{H^s} \leq C ||F||_{H^{s-2}} $
E:
$ max | u^{(s-1)} | \leq K ||u||_{H^{s}} $
($C$ e $K$ costanti positive dipendenti dalla misura del dominio)
Questo vale indipendentemente dalle condizioni al bordo se:
1. L'equazione e' del tipo $ - a u'' + b u' + c u = F $ ($a > 0,$ $b,c \geq 0$)
2. Il problema e' ben posto. (questo dipende dalle condizioni al contorno)
Per ottenere stime dettagliate e dimostrare la buona posizione del problema si procede, poi, passando dalla formulazione debole del problema, come ho fatto io... Le condizioni tipo Dirichlet (come il valore di $x$ in $t_1$) si fanno sparire facendo un rilevamento (quelle di Neumann sono naturali e non e' necessario fare particolari artifici) e quindi queste condizioni "spariscono" nella $F$. Infatti se guardi nelle mie stime compare non la forzante, ma la forzante piu' un pezzo, che tiene conto della condizione non omogenea al bordo...
Comunque per problemi di questo tipo, in cui la variabile e' il tempo, mi sembra piu' sensato lo studio del problema ai valori iniziali piuttosto che un problema ai limiti (visto che fisicamente non ha molto senso scegliere la configurazione finale). In questo modo la stima e' automatica senza tirare fuori tutto questa matematica (senza passare per spazi di Sobolev e formulazione debole del problema), ma viene dal teorema di regolarita' per soluzioni di problemi di Cauchy. In particolare se $F$ e' continua si ha necessariamente $u \in C^2$ quindi accelerazione limitata... (teorema di Wierstrass funzione continua su un compatto)
Ok ho messo una versione corretta dei miei conti....
acc... quanti errori (miei)...strano... ora edito.
ps: se hai un pò di tempo potresti mostrarmi i calcoli che dimostrano che per ogni F(t) l'energia della forzante è $1\/2kdelta x^2$? semplice curiosità non ho fretta.
ps: se hai un pò di tempo potresti mostrarmi i calcoli che dimostrano che per ogni F(t) l'energia della forzante è $1\/2kdelta x^2$? semplice curiosità non ho fretta.
Io non sono cosi' convinto che l'energia della forzante sia:
$ 1/2 k \Delta x^2 $
Infatti l'energia del sistema non si conserva, infatti la forzante porta energia nel sistema...
$ 1/2 k \Delta x^2 $
Infatti l'energia del sistema non si conserva, infatti la forzante porta energia nel sistema...
non può essere poichè per la conservazione dell'energia meccanica $E_c(i)+E_p(i)=E_c(f)+E_p(f)+L_e$ dove $L_e$ è il lavoro delle forze esterne, e $E_p(f)=1/2k\delta x^2$, non vedo agire nessun'altra forza nell'intervallo $(0,t_1)$ e l'energia deve conservarsi istante per istante, essa non si crea dal nulla, ...magari fosse possibile! 
La forzante introduce energia nel sistema! Ad esempio $F$ potrebbe rappresentare un motore che sollecita la molla... Quindi l'energia complessiva del sistema varia....
Detto matematicamente:
Per avere la conservazione devi avere la forza esterna espressa come funzione della posizione. In tal caso se la forza e' conservativa (quindi la forma differenziale associata e' esatta) puoi scriverla come gradiente di un potenziale. Ma qui la forza e' funzione del tempo quindi non si puo' esprimere come gradiente del potenziale....
Detto matematicamente:
Per avere la conservazione devi avere la forza esterna espressa come funzione della posizione. In tal caso se la forza e' conservativa (quindi la forma differenziale associata e' esatta) puoi scriverla come gradiente di un potenziale. Ma qui la forza e' funzione del tempo quindi non si puo' esprimere come gradiente del potenziale....
si appunto come ho detto sopra introduce la quantità $1/2kdelta x^2$ , si parla sempre di variazioni di energia, quindi è evidente che era il tempo la variabile di troppo, che conclusioni se ne possono trarre?
Sono reduce da un'esame per cui potrei essere fuso, ma non puoi dire che l'energia della forzante abbia quel valore li. Infatti il problema ai limiti:
$ {(-|a|x''+bx=f(t)),(x(0)=0),(x(t_1)=c):} $
Ha un'unica soluzione PER OGNI $f(t)$ purche' questa sia integrabile! Come fai a dire a priori quanta energia porta dentro $f$? Data una $f$ che introduce un'energia pari a $1/2 k Delta x^2$ potrei prenderne una che vale DOPPIO e avere un'altra soluzione che soddisfi la condizione di trovarsi in $c$ al tempo $t_1$...
$ {(-|a|x''+bx=f(t)),(x(0)=0),(x(t_1)=c):} $
Ha un'unica soluzione PER OGNI $f(t)$ purche' questa sia integrabile! Come fai a dire a priori quanta energia porta dentro $f$? Data una $f$ che introduce un'energia pari a $1/2 k Delta x^2$ potrei prenderne una che vale DOPPIO e avere un'altra soluzione che soddisfi la condizione di trovarsi in $c$ al tempo $t_1$...
se è per quello anch'io sono reduce da una lezione, la conclusione è che $t_1$ non è un dato del problema ma una variabile.
"gaussz":
se è per quello anch'io sono reduce da una lezione, la conclusione è che $t_1$ non è un dato del problema ma una variabile.
Come e' una variabile?
Mi sa che allora non ho capito bene il problema... se $t_1$ e' una variabile allora il problema non e' piu' un problema ai limiti...
allora nel problema si sa che ad un istante $t_1 x(t_1)=0 e dot x(t_1)=0$ come ho scritto, poi ho detto anche che forse c'è qualche condizione di troppo, questa sembra essere la conoscenza di $t_1$ a-priori, visto che l'energia deve conservarsi.
Però ora che ci penso matematica e fisica potrebbero non coincidere se non si tiene conto della relatività, secondo cui il tempo si trasforma. (quest'ipotesi è tutta da verificare...)
Però ora che ci penso matematica e fisica potrebbero non coincidere se non si tiene conto della relatività, secondo cui il tempo si trasforma. (quest'ipotesi è tutta da verificare...)
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