Problema parametrizzazione: Superficie della regione $\Omega$
Ciao a tutti 
Questo è il mio primo messaggio quindi scusatemi in anticipo se commetterò qualche errore.
Comunque ora torniamo all'esercizio;
La regione $\Omega$ è la seguente, $\Omega={(x,y,z)\inRR^3 : 0\leqz\leqsqrt(x^2+y^2), x^2+y^2\leq2y}$
L'esercizio richiedeva di calcolare la superficie della regione $\Omega$
Quindi io ho pensato di dividere il calcolo della superficie totale nel calcolo delle superfici del cerchio di base, della porzione di cono e infine della porzione di superficie laterale del cilindro.
Perciò, ovviamente, il cerchio di base fa $pi$, visto che il raggio è $1$. La porzione del cono la calcolo imponendo $z=sqrt(x^2+y^2)$ e integrando su il dominio $T={(x,y)\inRR^3 : x^2+y^2\leq2y}$, attraverso le coordinate polari abbiamo le condizioni seguenti $0\leq\theta\leqpi,0\leq\rho\leq2sen\theta$ $\int int_{T} sqrt(1+||\gradz||^2) dxdy=sqrt(2)\int_{0}^{pi} int_{0}^{2sen\theta} \rho d\rhod\theta=2sqrt(2)int_{0}^{pi} sen^2\theta d\theta=sqrt(2)[\theta-sen\thetacos\theta]_{0}^{pi}=sqrt(2)pi$
Invece la porzione di superficie laterale del cilindro non riesco a parametrizzarla, come posso fare?
E' sbagliato come ragionamento, quindi si fa in un altro modo, o no?
Grazie in anticipo
Questo è il mio primo messaggio quindi scusatemi in anticipo se commetterò qualche errore.
Comunque ora torniamo all'esercizio;
La regione $\Omega$ è la seguente, $\Omega={(x,y,z)\inRR^3 : 0\leqz\leqsqrt(x^2+y^2), x^2+y^2\leq2y}$
L'esercizio richiedeva di calcolare la superficie della regione $\Omega$
Quindi io ho pensato di dividere il calcolo della superficie totale nel calcolo delle superfici del cerchio di base, della porzione di cono e infine della porzione di superficie laterale del cilindro.
Perciò, ovviamente, il cerchio di base fa $pi$, visto che il raggio è $1$. La porzione del cono la calcolo imponendo $z=sqrt(x^2+y^2)$ e integrando su il dominio $T={(x,y)\inRR^3 : x^2+y^2\leq2y}$, attraverso le coordinate polari abbiamo le condizioni seguenti $0\leq\theta\leqpi,0\leq\rho\leq2sen\theta$ $\int int_{T} sqrt(1+||\gradz||^2) dxdy=sqrt(2)\int_{0}^{pi} int_{0}^{2sen\theta} \rho d\rhod\theta=2sqrt(2)int_{0}^{pi} sen^2\theta d\theta=sqrt(2)[\theta-sen\thetacos\theta]_{0}^{pi}=sqrt(2)pi$
Invece la porzione di superficie laterale del cilindro non riesco a parametrizzarla, come posso fare?
E' sbagliato come ragionamento, quindi si fa in un altro modo, o no?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao. Ho pensato in questo modo: $ x=cosvartheta ,y=sinvartheta +1,z=t $ con theta che varia da 0 a 2 $ Pi $ e $ 0<= t<=SQRT(cos^2vartheta +(sinvartheta +1)^2) $ e da qui ricavi poi la norma del vettore normale alla superficie che ti consenti di trovare l'area
Si era proprio quello che ho fatto dopo aver scritto il thread, soltanto che la norma del vettore normale alla superficie viene $1$ ed ok poi però quando vado ad integrare mi ritrovo con questo integrale non molto simpatico $sqrt(2)int_{0}^{2pi}sqrt(1+sen\theta)d\theta$, che con Wolfram viene una cosa indecente quello indefinito.
Qualche idea per farlo??
Qualche idea per farlo??
comunque i due parametri variano così, $0\leq\theta\leq2pi, 0\lequ\leqsqrt(2(1+sen\theta))$.
io l'ho risolto considerando sin $ vartheta $ come cos(pi mezzi - $ vartheta $ ) e poi ricordando la formula di bisezione del coseno
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