Problema: parametrizzazione di una superficie per calcolare un flusso
Ciao a tutti! 
Ho un problema di parametrizzazione nell'esercizio che dice:
Calcolare il flusso del campo vettoriale F(x, y, z) = (1, -x^2, yz) attraverso la superficie parametrizzata da r(u,v) = (u, v, v) con (u,v) ∈ D = {(u,v) : u^2 + v^2 ≤ 1 }
Ho in mente come calcolare il flusso di un campo vettoriale sia con il teorema della divergenza che con la "formula usuale" (che sarebbe integrale doppio del campo * versore normale * dS), il mio problema sta nel parametrizzare la superficie, più precisamente mi blocco perchè non so dove far variare u e v
In attesa di aiuto mi complimento con gli admin per questo sito stupendo!
Miriam
Ho un problema di parametrizzazione nell'esercizio che dice:Calcolare il flusso del campo vettoriale F(x, y, z) = (1, -x^2, yz) attraverso la superficie parametrizzata da r(u,v) = (u, v, v) con (u,v) ∈ D = {(u,v) : u^2 + v^2 ≤ 1 }
Ho in mente come calcolare il flusso di un campo vettoriale sia con il teorema della divergenza che con la "formula usuale" (che sarebbe integrale doppio del campo * versore normale * dS), il mio problema sta nel parametrizzare la superficie, più precisamente mi blocco perchè non so dove far variare u e v
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Miriam
Risposte
Che cosa rappresenta graficamente $D$? Se sai rispondere a questa domanda, dovresti avere tutti gli strumenti per determinare gli intervalli in cui far variare $u$ e $v$.
Credo sia una circonferenza, no? Devo quindi fare il cambio in coordinate polari?
Quello sì, è una cosa che potresti fare. Ma prima cerca di capire se ti conviene calcolare il flusso usando la definizione o il teorema della divergenza.
"ciampax":
Ma prima cerca di capire se ti conviene calcolare il flusso usando la definizione o il teorema della divergenza.
Ci ho pensato un po' su e credo che, avendo già il tutto espresso nelle due variabili u e v, sia meglio usare la definizione...anche se quindi dovrei trovare gli intervalli su cui variano u e v...e qui torna il mio problema.
p.s. continuo a pensarci su e sono super negata, il flusso dovrebbe venire pi/2 e a me proprio non torna :/
Andiamo a ragionare con la definizione: quello che ci serve e calcolare l'integrale
$$\int_\Sigma F(x,y,z)\bullet \vec{n}\ d\sigma$$
essendo $\vec{n}$ la normale unitaria (vettore di modulo 1) alla superficie $\Sigma$. Ora, applicando la definizione di integrale di superficie l'integrale precedente si riscrive come
$$\iint_D F(r(u,v))\bullet \vec{n}\cdot |N(u,v)|\ du\ dv$$
dove $|N(u,v)|$ è il modulo del vettore normale alla superficie. Pertanto $\vec{n}\cdot|N(u,v)|=N(u,v)$ (ottieni il vettore normale moltiplicando il suo modulo per il suo verso. In questo modo la formula risulta più di immediata applicazione e si riscrive come
$$\iint_D F(r(u,v))\bullet N(u,v)\ du\ dv$$
Calcoliamo ora i singoli termini: abbiamo
$$F(r(u,v))=(1, -u^2, v^2)\\ N(u,v)=r_u\times r_v=(1,0,0)\times(0,1,1)=\left|\begin{array}{ccc} i & j & k \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right|=(0,-1,1)$$
e quindi
$$I=\iint_D (1,-u^2,v^2)\bullet(0,-1,1)\ du\ dv=\iint_D (u^2+v^2)\ du\ dv$$
A questo punto, per calcolare l'integrale in maniera più comoda, passo a coordinate polari: poiché $D$ è il cerchio pieno di centro l'origine e raggio 1, si ha $\rho\in[0,1],\ \theta\in[0,2\pi]$ e pertanto, avendosi pure $u^2+v^2=\rho^2$
$$I=\int_0^{2\pi}\int_0^1 \rho^2\cdot \rho\ d\rho\ d\theta=2\pi\int_0^1\rho^3\ d\rho=2\pi\cdot\left[\frac{\rho^4}{4}\right]_0^{1}=2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}$$
$$\int_\Sigma F(x,y,z)\bullet \vec{n}\ d\sigma$$
essendo $\vec{n}$ la normale unitaria (vettore di modulo 1) alla superficie $\Sigma$. Ora, applicando la definizione di integrale di superficie l'integrale precedente si riscrive come
$$\iint_D F(r(u,v))\bullet \vec{n}\cdot |N(u,v)|\ du\ dv$$
dove $|N(u,v)|$ è il modulo del vettore normale alla superficie. Pertanto $\vec{n}\cdot|N(u,v)|=N(u,v)$ (ottieni il vettore normale moltiplicando il suo modulo per il suo verso. In questo modo la formula risulta più di immediata applicazione e si riscrive come
$$\iint_D F(r(u,v))\bullet N(u,v)\ du\ dv$$
Calcoliamo ora i singoli termini: abbiamo
$$F(r(u,v))=(1, -u^2, v^2)\\ N(u,v)=r_u\times r_v=(1,0,0)\times(0,1,1)=\left|\begin{array}{ccc} i & j & k \\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right|=(0,-1,1)$$
e quindi
$$I=\iint_D (1,-u^2,v^2)\bullet(0,-1,1)\ du\ dv=\iint_D (u^2+v^2)\ du\ dv$$
A questo punto, per calcolare l'integrale in maniera più comoda, passo a coordinate polari: poiché $D$ è il cerchio pieno di centro l'origine e raggio 1, si ha $\rho\in[0,1],\ \theta\in[0,2\pi]$ e pertanto, avendosi pure $u^2+v^2=\rho^2$
$$I=\int_0^{2\pi}\int_0^1 \rho^2\cdot \rho\ d\rho\ d\theta=2\pi\int_0^1\rho^3\ d\rho=2\pi\cdot\left[\frac{\rho^4}{4}\right]_0^{1}=2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}$$
Grazie mille Ciampax! scusa il ritardo nella risposta, ho avuto problemi di connessione...grazie davvero, mi bloccavo proprio all'inizio e niente, non usciva...colmerò prestissimo le mie lacune!
grazie ancora!
grazie ancora!
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