Problema parametrizzazione del toro nel flusso
ciao a tutti,ho un problema nel parametrizzare un toro,mi spiego meglio:
Sia $G$ il solido ottenuto intersecando il semipiano $z=0$ con il toro generato facendo
ruotare un disco di centro $(10, 0, 0)$ e raggio 2 del piano $xz$ attorno all’asse $z$. Indichiamo con $S1$
la parte (superiore) del bordo di $G$ contenuta nel toro, con $S2$ la parte del bordo di G contenuta
nel piano $z=0$. Sia poi $vec F (x,y,z)=(x^2-y/(x^2+y^2),x+y/(x^2+y^2),z+y)$ .
dovrei determinare la differenza $I1-I2$ del flusso $I1$ di $vec F$ uscente da $S1$ meno il flusso di $vec F$ uscente da $S2$.
ora io calcolerei il flusso più semplice tra i due e poi usando il teorema della divergenza calcolerei
l’altro, farei poi la differenza.... il problema è che inserendo la parametrizzazione del toro nel flusso viene una cosa allucinante e non credo sia giusto...qualcuno ha un'dea su come procedere ? è sbagliato il mio procedimento ? perchè iene un integrale con 11 termini !
grazie
Sia $G$ il solido ottenuto intersecando il semipiano $z=0$ con il toro generato facendo
ruotare un disco di centro $(10, 0, 0)$ e raggio 2 del piano $xz$ attorno all’asse $z$. Indichiamo con $S1$
la parte (superiore) del bordo di $G$ contenuta nel toro, con $S2$ la parte del bordo di G contenuta
nel piano $z=0$. Sia poi $vec F (x,y,z)=(x^2-y/(x^2+y^2),x+y/(x^2+y^2),z+y)$ .
dovrei determinare la differenza $I1-I2$ del flusso $I1$ di $vec F$ uscente da $S1$ meno il flusso di $vec F$ uscente da $S2$.
ora io calcolerei il flusso più semplice tra i due e poi usando il teorema della divergenza calcolerei
l’altro, farei poi la differenza.... il problema è che inserendo la parametrizzazione del toro nel flusso viene una cosa allucinante e non credo sia giusto...qualcuno ha un'dea su come procedere ? è sbagliato il mio procedimento ? perchè iene un integrale con 11 termini !
grazie
Risposte
C'è qualcosa che mi sfugge concettualmente: se intersechi il toro (una superficie) con un piano quello che ottieni è una curva (i bordi della corona circolare nel piano $xOy$ di centro $O$ e raggi $8$ e $12$). Cosa intendi per il solido $G$? Forse il volume "compreso" tra il bordo superiore e il piano? Io direi di sì.
Stando così le cose, l'integrale su $S_2$ è banale (il versore normale è $(0,0,-1)$ e $z=0$). Per quello su $S_1$ io userei effettivamente il teorema della divergenza, ma dovrei fare i conti.
Stando così le cose, l'integrale su $S_2$ è banale (il versore normale è $(0,0,-1)$ e $z=0$). Per quello su $S_1$ io userei effettivamente il teorema della divergenza, ma dovrei fare i conti.
perfetto perfetto,quello che hai detto te è giustissimo quindi verrebbe $int (-y-z) $ giusto ? quindi il problema è su $S2$ se non sbaglio....il problema è che non riesco proprio a capire su cosa integrare ! mmm
L'integrale di flusso su $S_1$ è l'integrale sulla corona circolare parametrizzata come [tex]$(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,0)$[/tex] con $8\le \rho\le 12$ e $0\le\theta\le 2\pi$ di [tex]$-y$[/tex]. Quindi è
[tex]$\int_8^{10}\int_0^{2\pi} -\rho\sin\theta\cdot\rho\ d\theta\ d\rho$[/tex]
[tex]$\int_8^{10}\int_0^{2\pi} -\rho\sin\theta\cdot\rho\ d\theta\ d\rho$[/tex]
capito...a occhio dovrebbe fare zero quindi....ok grazie mille !
Allora, ho risolto l'altro integrale: effettivamente bisogna usare la divergenza. Scrivo un po' i conti (solo i passaggi salienti perché se no finisco domattina). Per prima cosa la parametrizzazione della parte superiore del Toro (non solo la superficie ma anche il volume interno)
[tex]$x=g(r,u)\cos v,\qquad y=g(r,u)\sin v,\qquad z=r\sin u,\qquad \qquad 0\le r\le 2,\ 0\le u\le\pi,\ 0\le v\le 2\pi,$[/tex]
dove [tex]$g(r,u)=10+r\cos u$[/tex].
La divergenza del campo è
[tex]$\nabla\cdot F=2x+\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}+\farc{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}+1$[/tex]
per cui l'integrale da calcolare, usando il Teorema della divergenza, risulta
[tex]$\int_{S_2} F\cdot n\ d\sigma=\int_{V}\nabla\cdot F\ dx\ dy\ dz$[/tex]
Passo allora a coordinate toroidali (praticamente quelle che si ottengono dalla precedente parametrizzazione del toro): essendo $x^2+y^2=g^2$ si vede facilmente che il gradiente di $F$ diventa
[tex]$2g\cos v+1+\frac{1}{g^2}\left(\sin 2v+\cos 2v)$[/tex]
mentre lo Jacobiano della trasformazione risulta
[tex]$J=-g r$[/tex]
per cui si ha l'integrale
[tex]$\int_0^2\int_0^\pi\int_{0}^{2\pi}\left[2g\cos v+1+\frac{1}{g^2}\left(\sin 2v+\cos 2v)\right]\cdot(-rg)\ dv\ du\ dr=$[/tex]
[tex]$=\int_0^2\int_0^\pi -r\left[2g^2\sin v+gv+\frac{1}{2g}\left(-\cos 2v+\sin 2v\right)\right]_0^{2\pi}\ du\ dr=
\int_0^2\int_0^\pi -2\pi r g\ du\ dr=-2\pi\int_0^2\int_0^\pi (10r+r^2\cos u)\ du\ dr=$[/tex]
[tex]$=-2\pi\int_0^2\left[10ru+r^2\sin u\right]_0^\pi\ dr=-20\pi^2\int_0^2 r\ dr=-40\pi^2$[/tex]
(se non ho fatto errori di calcolo).
[tex]$x=g(r,u)\cos v,\qquad y=g(r,u)\sin v,\qquad z=r\sin u,\qquad \qquad 0\le r\le 2,\ 0\le u\le\pi,\ 0\le v\le 2\pi,$[/tex]
dove [tex]$g(r,u)=10+r\cos u$[/tex].
La divergenza del campo è
[tex]$\nabla\cdot F=2x+\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}+\farc{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}+1$[/tex]
per cui l'integrale da calcolare, usando il Teorema della divergenza, risulta
[tex]$\int_{S_2} F\cdot n\ d\sigma=\int_{V}\nabla\cdot F\ dx\ dy\ dz$[/tex]
Passo allora a coordinate toroidali (praticamente quelle che si ottengono dalla precedente parametrizzazione del toro): essendo $x^2+y^2=g^2$ si vede facilmente che il gradiente di $F$ diventa
[tex]$2g\cos v+1+\frac{1}{g^2}\left(\sin 2v+\cos 2v)$[/tex]
mentre lo Jacobiano della trasformazione risulta
[tex]$J=-g r$[/tex]
per cui si ha l'integrale
[tex]$\int_0^2\int_0^\pi\int_{0}^{2\pi}\left[2g\cos v+1+\frac{1}{g^2}\left(\sin 2v+\cos 2v)\right]\cdot(-rg)\ dv\ du\ dr=$[/tex]
[tex]$=\int_0^2\int_0^\pi -r\left[2g^2\sin v+gv+\frac{1}{2g}\left(-\cos 2v+\sin 2v\right)\right]_0^{2\pi}\ du\ dr=
\int_0^2\int_0^\pi -2\pi r g\ du\ dr=-2\pi\int_0^2\int_0^\pi (10r+r^2\cos u)\ du\ dr=$[/tex]
[tex]$=-2\pi\int_0^2\left[10ru+r^2\sin u\right]_0^\pi\ dr=-20\pi^2\int_0^2 r\ dr=-40\pi^2$[/tex]
(se non ho fatto errori di calcolo).
cavolo,grazie mille ! gentilissimo !
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo