Problema numeri complessi
Salve, avrei un dubbio su un esercizio con i numeri complessi.
$ z^3-2=0 $
Bene, ho iniziato con il metodo di ruffini e ho riscritto l'equazione:
$ (z-root(3)(2))(z^2+root(3)(2)z+2^(2/2)) $
Ho poi cercato di trovare le soluzioni di z dell'equazione di secondo grado, che sarebbero poi le soluzioni in $ mathbb(C) $, ma qui non ne esco fuori con i calcoli. Ma aldilà del risultato, volevo chiedere se procedere in questo modo sia corretto, anche se credo non sia il metodo più conveniente. Altrimenti come si potrebbe risolvere?
$ z^3-2=0 $
Bene, ho iniziato con il metodo di ruffini e ho riscritto l'equazione:
$ (z-root(3)(2))(z^2+root(3)(2)z+2^(2/2)) $
Ho poi cercato di trovare le soluzioni di z dell'equazione di secondo grado, che sarebbero poi le soluzioni in $ mathbb(C) $, ma qui non ne esco fuori con i calcoli. Ma aldilà del risultato, volevo chiedere se procedere in questo modo sia corretto, anche se credo non sia il metodo più conveniente. Altrimenti come si potrebbe risolvere?
Risposte
Ciao Alex hai fatto tutto giusto
Più che Ruffini hai usato un prodotto notevole $a^3-b^3$
C' è solo una svista l'ultimo termine attento è $2^(2/3) $
Però... per non perderci nei calcoli... possiamo anche vederla da un altro punto di vista
$z^3=2$
$z=root(3)(2)$
e adesso dobbiamo calcolare le tre radici cubiche di 2 visto come numero complesso
$2=2e^(i2pi)$
formula di DeMoivre la conosci? Per trovare le radici di un numero complesso
$z=root(3) 2 e^(i(2pi+2kpi)/3)$ con $k=0,1,2$
ci provi tu a continuare? Hai capito? Abbiamo spostato il problema ... non dobbiamo più risolvere la brutta equazione di secondo grado ma dobbiamo trovare le TRE radici cubiche di un numero complesso ($2$ è un numero complesso essendo reale...)
Alla fine dovrebbe venire, controlla il risultato
$z_1=root(3)2$
$z_2=root(3)2 (-1/2 + i sqrt(3) /2)$
$z_3=root(3)2 (-1/2 - i sqrt(3) /2)$
Più che Ruffini hai usato un prodotto notevole $a^3-b^3$
C' è solo una svista l'ultimo termine attento è $2^(2/3) $
Però... per non perderci nei calcoli... possiamo anche vederla da un altro punto di vista
$z^3=2$
$z=root(3)(2)$
e adesso dobbiamo calcolare le tre radici cubiche di 2 visto come numero complesso
$2=2e^(i2pi)$
formula di DeMoivre la conosci? Per trovare le radici di un numero complesso
$z=root(3) 2 e^(i(2pi+2kpi)/3)$ con $k=0,1,2$
ci provi tu a continuare? Hai capito? Abbiamo spostato il problema ... non dobbiamo più risolvere la brutta equazione di secondo grado ma dobbiamo trovare le TRE radici cubiche di un numero complesso ($2$ è un numero complesso essendo reale...)
Alla fine dovrebbe venire, controlla il risultato
$z_1=root(3)2$
$z_2=root(3)2 (-1/2 + i sqrt(3) /2)$
$z_3=root(3)2 (-1/2 - i sqrt(3) /2)$
Grazie mille per la risposta!
Il risultato che hai riportato è corretto e, dopo aver ricontrollato i miei calcoli mi trovo lo stesso risultato anche calcolando le radici complesse del polinomi.
Conosco e ho capito il tuo procedimento, anche se ad essere sincero non sapevo si chiamasse formula di DeMoivre...
Il risultato che hai riportato è corretto e, dopo aver ricontrollato i miei calcoli mi trovo lo stesso risultato anche calcolando le radici complesse del polinomi.
Conosco e ho capito il tuo procedimento, anche se ad essere sincero non sapevo si chiamasse formula di DeMoivre...
Per essere precisi la formula di DeMoivre è quella della POTENZA di un numero complesso... qua stiamo facendo la RADICE di un numero complesso ma è una formula derivata da quell'altra e spesso si chiama di "De Moivre" anche lei
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