Problema nellìinserire sviluppi di Taylor

[Dino 921]

Benchè il post sembri lungo, in realtà il problema è molto stupido, quindi non vi demoralizzate per la lunghezza apparente del mio inserimento.

ho un problema quando si tratta di inserire gli sviluppi di Taylor nel calcolo di un limite.
Ovvero: quando nel calcolo di un limite generale (tendente a 0 per semplicità) debbo sostituire gli sviluppi polinomiali alle funzioni che compongono il limite, a che ordine mi devo arrestare tenendo conto dell'ordine degli sviluppi delle altre funzioni?

La mia domanda sorge dal fatto che molte volte sbaglio il calcolo di un limite semplicemente perchè, quando uso i polinomi, ad una funzione sostituisco un polinomio fino al terzo grado (per esempio) e ad un'altra ne sostituisco uno di secondo...Può dipendere da questo? se sì, come si fa a capire a quale grado bisogna arrestare tutti gli sviluppi dei polinomi?

Per chiarire la questione, avendo il seguente limite:

$lim_(x->) (e^x - 1 + ln (1-x))/(tanx - x)$

come lo risolvereste?

il risultato è $-1/2$

come giustifica del risultato il manuale riporta:

"Lo sviluppo del denominatore è quindi $tan x − x = (x^3)/3 + o(x^3)$; anche il numeratore deve
essere quindi sviluppato almeno al terzo ordine"

chi mi sa spiegare quest'ultima affermazione?

[Quinzio]

Va bene, diciamo che non capiamo quell'affermazione.
Che alternative abbiamo ?
Se ci fermiamo al primo ordine cosa risulta ?