Problema nella risoluzione di un limite
$lim_(x->0)(1/(1-cos x)-2/x^2)=(x^2/(x^2(1-cos x))-2/x^2)=$ utilizzo il lim notevole $lim_(x->0)((1-cos x)/x^2)$ ma poi cosi facendo il risultato esce 0 invece il risultato è $1/6$
Risposte
Questi sono i classici limiti con lo sviluppo in serie di MacLaurin. Dovresti fare il minimo comune multiplo all'inizio e ti viene:
$(x^2-2-2cosx)/(x^2(1-cosx))$
qui usa gli sviluppi in serie
$(x^2-2-2cosx)/(x^2(1-cosx))$
qui usa gli sviluppi in serie
Lorin:
Questi sono i classici limiti con lo sviluppo in serie di MacLaurin. Dovresti fare il minimo comune multiplo all'inizio e ti viene:
$(x^2-2-2cosx)/(x^2(1-cosx))$
qui usa gli sviluppi in serie
e come faccio a sapere che devo utilizzare questo metodo e nn come lo stavo risolvendo io?
Sostanzialmente il discorso in linee generale è questo:
Quando tu applichi il limite notevole quello che fai non è altro che fare lo sviluppo in serie e fermarti al primo ordine, infatti se noti:
$lim_(x->0)sinx/x=1 => sinx \sim x+o(x)$
$lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2 => 1-cosx \sim 1/2x^2+o(x^2)$
quindi nel tuo caso, possiamo dire che: $(1/(1-cosx)-2/x^2) \sim (2/x^2-2/x^2)->0$, ma ciò non è vero perchè quando usi il limite notevole (quindi lo sviluppo in serie al primo ordine) è come se tu facessi una sorta di approssimazione della funzione. Quando approssimi una quantità con il suo sviluppo in serie non fai altro che prendere un'altra funzione che ha (nell'intorno del punto di accumulazione) un comportamento simile alla tua funzione iniziale, quindi non puoi fare la sottrazione diretta, cioè nel tuo caso non puoi sottrarre $2/x^2-2/x^2$
E' un pò difficile come concetto da spiegare, ma se ci rifletti bene è semplice da capire.
Quando questo accade utilizzi gli sviluppi in serie.
Quando tu applichi il limite notevole quello che fai non è altro che fare lo sviluppo in serie e fermarti al primo ordine, infatti se noti:
$lim_(x->0)sinx/x=1 => sinx \sim x+o(x)$
$lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2 => 1-cosx \sim 1/2x^2+o(x^2)$
quindi nel tuo caso, possiamo dire che: $(1/(1-cosx)-2/x^2) \sim (2/x^2-2/x^2)->0$, ma ciò non è vero perchè quando usi il limite notevole (quindi lo sviluppo in serie al primo ordine) è come se tu facessi una sorta di approssimazione della funzione. Quando approssimi una quantità con il suo sviluppo in serie non fai altro che prendere un'altra funzione che ha (nell'intorno del punto di accumulazione) un comportamento simile alla tua funzione iniziale, quindi non puoi fare la sottrazione diretta, cioè nel tuo caso non puoi sottrarre $2/x^2-2/x^2$
E' un pò difficile come concetto da spiegare, ma se ci rifletti bene è semplice da capire.
Quando questo accade utilizzi gli sviluppi in serie.
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