Problema nel determinare l'intervallo di definizione di una soluzione di un eq. differenziale
ciao a tutti vorrei chiedervi di dare un occhio allo svolgimento di un esercizio su un problema di Cauchy, che riesco a svolgere( non so se in maniera corretta 
) fino a quando mi viene chiesto di determinare l'intervallo più ampio di definizione della soluzione.
${(y' + (sinx)/(1 + cosx) y = 4y^2 sinx),(y(\pi /2) = 2/3):}$
ecco come l'ho svolto io:
divido tutto per $y^2$ e applico il cambio di variabile $z(x) = y^(-1)$. derivando e sostituendo nel problema di Cauchy originale ottengo:
${(z' - (sinx)/(1 + cosx) z = - sinx),(z(\pi /2) = 3/2):}$
per risolverlo calcolo l'integrale $-\int_(\pi/2)^xsint/(1 +cost)dt = log(1 + cosx) $ e l'integrale $-4 \int_(\pi/2)^xsinre^(- \int_(\pi/2)^rsint/(1 +cost)dt)dr = -4 \int_(\pi/2)^xsinr(1 + cosr)dr = 4cosx -4\int_(\pi/2)^x sinrcosr dr =$
$= 4cosx +2cos^2(x) $
poiche la soluzione è della forma
$z(x) = e^(\int_(\pi/2)^xsint/(1 +cost)dt ) {3/2 -4 \int_(\pi/2)^xsinre^(- \int_(\pi/2)^rsint/(1 +cost)dt)dr}$
sostituendo
$z(x) = 1/(1 + cosx) {3/2 +4cosx +2cos^2x}$
tornando indietro si ha quindi che
$y(x) = (1 + cosx)/(3/2 + 4cosx +2 cos^2 x)$
Ecco, questa è la soluzione da me trovata. Ovviamente non sono sicuro che sia giusta, ma il problema più grande sta nello stabilire qual'è l'intervallo più ampio di definizione. Ho provato a ragionare sul denominatore, ma non sono riuscito a districarmi, quindi se poteste spiegarmi come andare avanti mi sareste di grande aiuto.
Vi ringrazio tutti per la disponibilità e il tempo dedicato
) fino a quando mi viene chiesto di determinare l'intervallo più ampio di definizione della soluzione.${(y' + (sinx)/(1 + cosx) y = 4y^2 sinx),(y(\pi /2) = 2/3):}$
ecco come l'ho svolto io:
divido tutto per $y^2$ e applico il cambio di variabile $z(x) = y^(-1)$. derivando e sostituendo nel problema di Cauchy originale ottengo:
${(z' - (sinx)/(1 + cosx) z = - sinx),(z(\pi /2) = 3/2):}$
per risolverlo calcolo l'integrale $-\int_(\pi/2)^xsint/(1 +cost)dt = log(1 + cosx) $ e l'integrale $-4 \int_(\pi/2)^xsinre^(- \int_(\pi/2)^rsint/(1 +cost)dt)dr = -4 \int_(\pi/2)^xsinr(1 + cosr)dr = 4cosx -4\int_(\pi/2)^x sinrcosr dr =$
$= 4cosx +2cos^2(x) $
poiche la soluzione è della forma
$z(x) = e^(\int_(\pi/2)^xsint/(1 +cost)dt ) {3/2 -4 \int_(\pi/2)^xsinre^(- \int_(\pi/2)^rsint/(1 +cost)dt)dr}$
sostituendo
$z(x) = 1/(1 + cosx) {3/2 +4cosx +2cos^2x}$
tornando indietro si ha quindi che
$y(x) = (1 + cosx)/(3/2 + 4cosx +2 cos^2 x)$
Ecco, questa è la soluzione da me trovata. Ovviamente non sono sicuro che sia giusta, ma il problema più grande sta nello stabilire qual'è l'intervallo più ampio di definizione. Ho provato a ragionare sul denominatore, ma non sono riuscito a districarmi, quindi se poteste spiegarmi come andare avanti mi sareste di grande aiuto.
Vi ringrazio tutti per la disponibilità e il tempo dedicato
Risposte
Ciao,
Forse non ho capito il problema, ma se é l'insieme di definizione della tua soluzione risolvi per il denominatore diverso da zero. Poni cos(x) = t e hai una normale equazione di secondo grado e facendo arcocoseno del risultato hai che l'insieme é tutto R privato di
\(\displaystyle (2/3 + 2k) \pi \) e \(\displaystyle (4/3 + 2k) \pi \)
con k in Z.
Se fosse troppo banale mi scuso ma é perché ho frainteso la richiesta.
Saluti
Forse non ho capito il problema, ma se é l'insieme di definizione della tua soluzione risolvi per il denominatore diverso da zero. Poni cos(x) = t e hai una normale equazione di secondo grado e facendo arcocoseno del risultato hai che l'insieme é tutto R privato di
\(\displaystyle (2/3 + 2k) \pi \) e \(\displaystyle (4/3 + 2k) \pi \)
con k in Z.
Se fosse troppo banale mi scuso ma é perché ho frainteso la richiesta.
Saluti
@InfiniteJest: E no, manca un pezzo. L'intervallo più ampio di definizione della soluzione deve essere uno solo, tu ne hai scritti due. Bisogna scegliere quale dei due contenga l'istante iniziale.
Veramente io ne ho scritti infiniti. Comunque sì, mi ero completamente dimenticato della condizione iniziale. Direi che in conclusione possiamo dare come intervallo
\(\displaystyle ( - \frac {2}{3} \pi , \frac {2}{3} \pi ) \) in cui é così compreso \(\displaystyle \frac { \pi }{2} \). Confermi ?
\(\displaystyle ( - \frac {2}{3} \pi , \frac {2}{3} \pi ) \) in cui é così compreso \(\displaystyle \frac { \pi }{2} \). Confermi ?
prima di tutto grazie a entrambi per l'aiuto dissonance e InfiniteJest 
vi sono però un paio di cose che non mi sono molto chiare, forse perchè non sono pratico delle funzioni arcoseno e arcocoseno.
Se io risolvo l'equazione $3/2 + 4t + 2t^2$ con $t = cosx$ ottengo che le soluzioni in t sono $-1/2$ e $-3/2$, e quindi , tornando indietro, $ x = arcos(-1/2)$ e $x = arcos(-3/2)$. Ora, se non sono pazzo, la seconda scelta non è plausibile, poiché il coseno è funzione limitata tra $1$ e $-1$, quindi, se il denominatore si annulla, deve essere necessariamente per $ x = arcos(-1/2)$, che equivale, come credo intendeva InfiniteJest, all'intervallo $(-2/3 \pi, 2/3 \pi)$ che non può essere esteso oltre $-2/3 \pi$ per la periodicità del coseno. Vi chiedo quindi se ho ragionato in maniera corretta e vi ringrazio ancora per tutto l'aiuto che mi avete dato
vi sono però un paio di cose che non mi sono molto chiare, forse perchè non sono pratico delle funzioni arcoseno e arcocoseno.
Se io risolvo l'equazione $3/2 + 4t + 2t^2$ con $t = cosx$ ottengo che le soluzioni in t sono $-1/2$ e $-3/2$, e quindi , tornando indietro, $ x = arcos(-1/2)$ e $x = arcos(-3/2)$. Ora, se non sono pazzo, la seconda scelta non è plausibile, poiché il coseno è funzione limitata tra $1$ e $-1$, quindi, se il denominatore si annulla, deve essere necessariamente per $ x = arcos(-1/2)$, che equivale, come credo intendeva InfiniteJest, all'intervallo $(-2/3 \pi, 2/3 \pi)$ che non può essere esteso oltre $-2/3 \pi$ per la periodicità del coseno. Vi chiedo quindi se ho ragionato in maniera corretta e vi ringrazio ancora per tutto l'aiuto che mi avete dato
Sì per quel che mi riguarda la trovo una perfetta sintesi.
Ciao
Ciao
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