Problema nel calcolo massimi e minimi di una funzione

[zioroby6]

Buongiorno a tutti, dovrò a breve sostenere l'esame di metodi quantitativi per l'impresa (magistrale in Economia e Management) e avrei bisogno di qualche delucidazione su di un esercizio. In pratica, ho una funzione f(x,y) per cui calcolare punti di massimo e di minimo liberi e vincolati.

La funzione è questa: $f(x,y)=y^2-4y+4+ln(x^2)$

Il vincolo è il seguente: $2x+(y-2)^2=3$

Ho constatato che la funzione non ha punti di massimo e di minimo liberi nel suo dominio $RR^2, x!=0$

Per quanto riguarda i punti stazionari vincolati, ho seguito prima la modalità di risoluzione mediante sostituzione del vincolo in $f(x,y)$, ottenendo come punti candidati $(1,1)$ e $(1,3)$. Dopodichè ho tentato di risolvere il problema mediante il lagrangiano, giungendo a ottenere come soluzione del sistema il punto $(\lambda, x, y) = (2/3, 3/2, 2)$. Restando perplesso dalle due soluzioni diverse ho controllato se fossero corrette o meno tramite Wolframalpha, ed entrambe le soluzioni risultano corrette. Vorrei chiedervi come mai abbia ottenuto delle soluzioni diverse (pur essendo entrambe corrette) mediante le due modalità di risoluzione... Grazie in anticipo!

[Antimius]

In che modo hai sostituito il vincolo in $f(x,y)$?

[dino!16]

$ L(x,y,lambda )=[ ( (2)/x ),( 2y-4 ) ] +lambda [ ( 2 ),( 2y-4 ) ]= [ ( 0 ),( 0 ) ] $

Il sistema è:

$ { ( (2)/x+2lambda =0 ),( 2y-4+2lambday-4lambda=0 ),( 2x+(y-2)^2=3 ):} ->{ ( 2+2lambdax =0 ),( 2(y-2)+2lambda(y-2)=0 ),( 2x+(y-2)^2=3 ):} $ $ { ( x=(-1)/lambda ),( (y-2)(2lambda+2)=0 ),( (y-2)^2=3+(2)/lambda ):}->{ ( x=(-1)/lambda ),( (y-2)(2lambda+2)=0 ),( (y-2)=root()(3+(2)/lambda) ):}-> $ $ { ( x=(-1)/lambda ),( root()(3+(2)/lambda)(2lambda+2)=0 ),( (y-2)=root()(3+(2)/lambda) ):}->{ ( x=(-1)/lambda ),( (3+(2)/lambda)(2lambda+2)^2=0 ),( (y-2)=root()(3+(2)/lambda) ):} $ $ { ( x=(-1)/lambda ),( (3+(2)/lambda)(4lambda^2+4+8lambda)=0 ),( (y-2)=root()(3+(2)/lambda) ):} $
da cui
$ 12lambda^2+12+24lambda+8lambda+(8)/lambda+16=0->3lambda^3+32lambda^2+28lambda+8=0 $
applichi ruffini e trovi $ lambda1=-1 $ e $ 3lambda^2+5lambda+2=0->lambda2,3=-1;-(2)/3 $
se $ lambda=-1:x=1->2y-4+2(-1)y-4(-1)=0 $ dunque non esistono punti stazionari
se $ lambda=-(2)/3:x=(3)/2->2y-4+2(-(2)/3)y-4(-(2)/3)=0->y=2 $
dunque l'unico punto stazionario per la lagrangiana è $ (-(2)/3,(3)/2,2) $