Problema moltiplicatori di Lagrange
Ascoltate ho un problema nella ricerca di massimi e minimi vincolati con il metodo di lagrange.
Dopo che mi sono troavato i punti critici della funzione:
F(x,y,lambda)=f(x,y)-lambdag(x,y)
Ma come faccio a stabilire che sono di massimo e di minimo??? Il libro che ho non è molto chiaro in proposito, mi riporta degli espedienti particolari ma non mi fornisce un metodo più generale...Illuminatemi!!
Dopo che mi sono troavato i punti critici della funzione:
F(x,y,lambda)=f(x,y)-lambdag(x,y)
Ma come faccio a stabilire che sono di massimo e di minimo??? Il libro che ho non è molto chiaro in proposito, mi riporta degli espedienti particolari ma non mi fornisce un metodo più generale...Illuminatemi!!
Risposte
Il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange dice solo che i punti critici vincolati sono i punti nei quali il gradiente di f e' parallelo al gradiente del vincolo g (se il vincolo e' messo nella forma g=0); e dunque deve annullarsi il gradiente di F, per un certo \lambda, che e' dunque la ricerca dei punti critici liberi di F.
E' facile poi vedere che un punto critico libero di F e' massimo (minimo) locale se e solo se lo stesso punto (solo le prime due coordinate pero', il \lambda non c'entra piu'...) e' massimo (minimo) vincolato per f sul vincolo g=0.
Attenzione: nulla si puo' dire su un punto di sella per F: tale punto potrebbe essere qualunque cosa per f: questi vanno studiati a parte.
Un'ultima cosa: per far funzionare tutta sta roba, g deve essere regolare, e non deve contenere punti che annullano il suo gradiente. (g e' anche detta cosi' sottovarieta').
Ciao, Luca.
E' facile poi vedere che un punto critico libero di F e' massimo (minimo) locale se e solo se lo stesso punto (solo le prime due coordinate pero', il \lambda non c'entra piu'...) e' massimo (minimo) vincolato per f sul vincolo g=0.
Attenzione: nulla si puo' dire su un punto di sella per F: tale punto potrebbe essere qualunque cosa per f: questi vanno studiati a parte.
Un'ultima cosa: per far funzionare tutta sta roba, g deve essere regolare, e non deve contenere punti che annullano il suo gradiente. (g e' anche detta cosi' sottovarieta').
Ciao, Luca.