Problema logico
Sera,avrei bisogno di qualche spiegazione su questo esercizio che non riesco a inquadrarlo bene,devo utilizzare programmazione lineare o solo sistemi di equazioni?grazie
Un faro F si trova su una piccola isola situata d km a Nord di un
punto A su una costa rettilinea orientata Est-Ovest. Si deve collegare con un cavo
il faro F con un punto B della costa che si trova l km a Est di A. Il cavo sara
posato lungo il fondo marino in linea retta da F fino a punto C della costa posto
fra A e B, e poi in linea retta da C fino a B. Posare il cavo sul fondo marino
richiede a euro per chilometro, mentre posare il cavo lungo la costa richiede b euro
per chilometro, con 0 < b < a.
(i) Trova il punto C che rende minimo il costo della posa del cavo se d = 5,
l = 10, a = 5000 e b = 3000.
(ii) Trova il punto C che rende minimo il costo della posa del cavo se d = 3,
l = 10, a = 5000 e b = 3000.
(iii) Verifica che collegare in linea retta F a B `e la scelta che rende minimo il
costo della posa del cavo se e solo se $ a/b<= [1+(d/l)^2]^(1/2) $ (quindi sotto radice non riusciva a prenderla il browser)
Un faro F si trova su una piccola isola situata d km a Nord di un
punto A su una costa rettilinea orientata Est-Ovest. Si deve collegare con un cavo
il faro F con un punto B della costa che si trova l km a Est di A. Il cavo sara
posato lungo il fondo marino in linea retta da F fino a punto C della costa posto
fra A e B, e poi in linea retta da C fino a B. Posare il cavo sul fondo marino
richiede a euro per chilometro, mentre posare il cavo lungo la costa richiede b euro
per chilometro, con 0 < b < a.
(i) Trova il punto C che rende minimo il costo della posa del cavo se d = 5,
l = 10, a = 5000 e b = 3000.
(ii) Trova il punto C che rende minimo il costo della posa del cavo se d = 3,
l = 10, a = 5000 e b = 3000.
(iii) Verifica che collegare in linea retta F a B `e la scelta che rende minimo il
costo della posa del cavo se e solo se $ a/b<= [1+(d/l)^2]^(1/2) $ (quindi sotto radice non riusciva a prenderla il browser)
Risposte
Se chiamiamo $x$ la distanza $AC$ avremo che il nostro costo $K$ è dato da $K=a*FC+b*CB=a*sqrt(x^2+d^2)+b*(l-x)$ con $0<=x<=l$.
Al fine di trovare il minimo di questa funzione deriviamo e uguagliamo a zero: $0=(ax)/sqrt(x^2+d^2)-b$ da cui $a/b=sqrt(x^2+d^2)/x$ ed elevando al quadrato $(a/b)^2=(x^2+d^2)/x^2$ ed infine $x=sqrt(d^2/((a/b)^2-1))$
Nei due casi avremo:
(i) $x=sqrt(5^2/((5000/3000)^2-1))=3.75$
(ii) $x=sqrt(3^2/((5000/3000)^2-1))=2.25$
Per il punto (iii), perché con $FB$ si abbia il costo minimo deve essere $x=l$ e sostituendo in questa $(a/b)^2=(x^2+d^2)/x^2$ avremo $(a/b)^2=(l^2+d^2)/l^2\ \ \ =>\ \ \ a/b=sqrt(1+(d/l)^2)$
Cordialmente, Alex
Al fine di trovare il minimo di questa funzione deriviamo e uguagliamo a zero: $0=(ax)/sqrt(x^2+d^2)-b$ da cui $a/b=sqrt(x^2+d^2)/x$ ed elevando al quadrato $(a/b)^2=(x^2+d^2)/x^2$ ed infine $x=sqrt(d^2/((a/b)^2-1))$
Nei due casi avremo:
(i) $x=sqrt(5^2/((5000/3000)^2-1))=3.75$
(ii) $x=sqrt(3^2/((5000/3000)^2-1))=2.25$
Per il punto (iii), perché con $FB$ si abbia il costo minimo deve essere $x=l$ e sostituendo in questa $(a/b)^2=(x^2+d^2)/x^2$ avremo $(a/b)^2=(l^2+d^2)/l^2\ \ \ =>\ \ \ a/b=sqrt(1+(d/l)^2)$
Cordialmente, Alex
Si tratta di un problema di minimo da risolvere con le derivate.
Posto $bar(AC) = x$ con $0<= x <=l$ ottieni la funzione spesa $f(x) = a sqrt(d^2+x^2) + b(l-x)$, dallo studio del segno della derivata prima ricavi che il punto di minimo è $x=sqrt((b^2d^2)/(a^2-b^2))$, che è interno all'intervallo di variabilità della $x$ solo se $0<=sqrt((b^2d^2)/(a^2-b^2))<=l$ altrimenti il minimo della funzione si ha per $x=l$.
Ho visto che Alex ha già risposto, comunque visto che avevo fatto tutti i calcoli, lascio lo stesso anche il mio intervento e confermo i risultati di Alex.
Posto $bar(AC) = x$ con $0<= x <=l$ ottieni la funzione spesa $f(x) = a sqrt(d^2+x^2) + b(l-x)$, dallo studio del segno della derivata prima ricavi che il punto di minimo è $x=sqrt((b^2d^2)/(a^2-b^2))$, che è interno all'intervallo di variabilità della $x$ solo se $0<=sqrt((b^2d^2)/(a^2-b^2))<=l$ altrimenti il minimo della funzione si ha per $x=l$.
Ho visto che Alex ha già risposto, comunque visto che avevo fatto tutti i calcoli, lascio lo stesso anche il mio intervento e confermo i risultati di Alex.
Grazie tante,veloci e esaustivi come sempre...rimpiango i vecchi esercizi "calcola la derivata della funzione ecc..." la logica non fa per me! =)
Beh, ma questo è proprio un caso in cui si utilizza la derivata per scopi pratici ... 
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