Problema Limiti senza sviluppo di taylor
Salve ragazzi, ho dei problemi con alcuni limiti....(sono da fare senza sviluppi di taylor, al massimo asintotici base e/o del'hopital)
i limiti sono questi
per $x->0$
$(2cos(sqrt(x))-2+x)/(x^2-x^3)$
e sempre per per $x->0$
$(1/x^2)-(1/(xsinx))$
non riesco a venirne fuori!!!!
i limiti sono questi
per $x->0$
$(2cos(sqrt(x))-2+x)/(x^2-x^3)$
e sempre per per $x->0$
$(1/x^2)-(1/(xsinx))$
non riesco a venirne fuori!!!!
Risposte
Idee tue?
"StefanoMDj":
Salve ragazzi, ho dei problemi con alcuni limiti....(sono da fare senza sviluppi di taylor, al massimo asintotici base e/o del'hopital)
i limiti sono questi
per $x->0$
$(2cos(sqrt(x))-2+x)/(x^2-x^3)$
e sempre per per $x->0$
$(1/x^2)-(1/(xsinx))$
non riesco a venirne fuori!!!!
per il primo ho provato gli asintotici ma ottengo $(2(1-(sqrt(x))^2/2)-2+x)/(x^2)$ che non porta a niente
oppure considerando $cos(sqrt(x)) -> 1$ per $x->0$ ottengo $x/x^2$ = $1/x$ che però non è il risultato che mi da derive (dovrebbe essere 1/12)
provando con de l'hopital mi viene $(1/(2sqrt(x))-2sin(sqrt(x))+1)/(2x+3x^2)$ che non mi sembra cambiare molto...
per il secondo stessa storia per gli asintotici $(xsinx-x^2)/(x^3sinx)$ che non mi pare portare a molti miglioramenti neanche derivandola ( $0/0$ per del'hopital)
Sbagli a scrivere lo sviluppo del coseno.
Infatti dal limite fondamentale sai che:
\[
1-\cos y \approx \frac{1}{2}\ y^2
\]
quindi:
\[
2\cos \sqrt{x} -2= -2(1-\cos \sqrt{x})\approx \cdots
\]
Infatti dal limite fondamentale sai che:
\[
1-\cos y \approx \frac{1}{2}\ y^2
\]
quindi:
\[
2\cos \sqrt{x} -2= -2(1-\cos \sqrt{x})\approx \cdots
\]
Eh ma è quello che faccio....solo non considero il $-2$ e sviluppo solo $cos(sqrt(x))=(1-(sqrt(x))^2/2)$...fatto sta che al numeratore ho sempre $x - x$ e non so più come andare avanti.....
Ah, scusa avevo letto male...
Allora chiaramente l'uso dei limiti fondamentali (che danno approssimazioni del primo ordine) non serve a nulla.
Stabilito che l'infinitesimo al denominatore è d'ordine \(2\), il tuo limite è equivalente a:
\[
\lim_{x\to 0}\ 2\ \frac{\cos \sqrt{x} - 1+\frac{1}{2}\ x}{x^2} \stackrel{y=\sqrt{x}} =\lim_{y\to 0^+}\ 2\ \frac{\cos y-1+\frac{1}{2}\ y^2}{y^4}\; ;
\]
la sostituzione \(y=\sqrt{x}\) consente di semplificare i conti, perché il limite si risolve applicando due volte il teorema del marchese... Prova.
Allora chiaramente l'uso dei limiti fondamentali (che danno approssimazioni del primo ordine) non serve a nulla.
Stabilito che l'infinitesimo al denominatore è d'ordine \(2\), il tuo limite è equivalente a:
\[
\lim_{x\to 0}\ 2\ \frac{\cos \sqrt{x} - 1+\frac{1}{2}\ x}{x^2} \stackrel{y=\sqrt{x}} =\lim_{y\to 0^+}\ 2\ \frac{\cos y-1+\frac{1}{2}\ y^2}{y^4}\; ;
\]
la sostituzione \(y=\sqrt{x}\) consente di semplificare i conti, perché il limite si risolve applicando due volte il teorema del marchese... Prova.
grandissimo! bisognava in effetti sostituire $sqrt(x)=t$ e risolvere con due applicazioni di de l'hopital...ho ancora un po' di problemi nell'applicare 2-3 cose alla volta su uno stesso limite....
aggiungo...il secondo si risolve anch'esso con la doppia applicazione di de l'hopital!
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