Problema limite notevole

[christian951]

Ciao a tutti ragazzi non riesco a risolvere questo limite (premetto che non posso risolverlo con DH ne con Taylor perchè non ci siamo ancora arrivati,quindi dovrei risolverlo con limiti notevoli o cose simili)

lim n-->inf [log(n)+^nsqrt(n!)+nsin(1/sqrt(n)]/[n+cos(n)+sqrt(n)]

ho eliminato il log al numeratore essendo il più lento ad andare a infinito e sqrt(n) al denominatore insieme a cos(n)
non so se ho fatto bene o meno cmq non riesco a risolvere il pezzo n sin (1/sqrt(n)) al numeratore

Scusate la scrittura non sapevo come inserire i simboli

Grazie in anticipo!

[phaerrax]

La formula non si capisce, purtroppo. C'è un esponente

^n

dopo il logaritmo, senza una base.

[christian951]

Sarebbe radice ennesima di n fattoriale

[francicko]

Penso sia questo il limite: $lim_( n->infty)(logn+root (n)(n!)+nsin (1/sqrt (n)))/n $
Intanto $sin(1/sqrt (n))~1/sqrt (n)$ sostituendo si ha:
$lim_(n->infty)(logn+root(n)(n!)+n/sqrt (n))/n $ $=lim_(n->infty)logn/n+root(n)(n!)/n+1/sqrt (n) $ ma $logn/n->0$, $1/sqrt (n)->0$, il nostro limite si riduce ad $lim_(n->infty)root (n)(n!)/n$ che si può risolvere con Cesaro e da come risultato $1/e$

[christian951]

Grazie mille troppo gentile come sempre !
non ho capito solamente perchè si puo sostituire sin 1/sqrt(n) con 1/sqrt(n)

[francicko]

Discende dal noto limite notevole $lim_(t->0)sint/t =1$, da cui $sint~t$, cioe' per $t->0$ questi termini tendono ad uguagliarsi,
cioe sono asintotoci;
Nel nostro caso poniamo $t=1/sqrt(n)$, ed il gioco e' fatto.
Comunque la difficoltà sta nel risolvere il $lim_(x->0)root (n)(n!)/n $, magari senza far ricorso ai teoremi di Cesaro, approssimazione di Stirling ecc., magari prova a metterlo nella forma $lim_(x->0)e^(log (n!)/n-logn)$