Problema limite funzione integrale

[Bombi2]

L'esercizio mi chiedeva di calcolare i max, min e flessi nell'intervallo aperto (0,1) della funzione integrale

F(x) = $ lim_(x -> 1^+) int_(0)^(x) 1/log(2-t)\ dt $

Per prima cosa ho fatto l' I.D. e mi trovo che vale ]-infinito, 2[ \ {1}

Poi per il teorema fondamentale del calcolo integrale ho scritto che F'(x) = f(x) considerando f(t) = $ 1/log(2-t) $
quindi F'(x) = $ 1/log(2-x) $

L'insieme di definizione di F'(x) coincide con quello di F(x) quindi F(x) è continua e derivabile in (0,1)

Adesso vado a calcolarmi i limiti nei punti di accumulazione cioè $ 1^- $ e $ 0^+ $

In 0 la funzione è continua quindi

$ lim_(x -> 0^+)F(x) = F(0) = int_(0)^(0) 1/log(2-t)\ dt = 0 $

Invece il limite per x che tende ad 1 da sinistra mi dà un gran bel po' di problemi e non riesco a calcolarlo

$ lim_(x -> 1^-) int_(0)^(x) 1/log(2-t) dt $

qualcuno potrebbe darmi una mano??

[gugo82]

Il dominio della funzione integrale non è quello che indichi.

Infatti per \(x\to 1^-\) si ha:
\[
\log (2-x) = \log (1+(1-x))\approx 1-x \qquad \Rightarrow \qquad \frac{1}{\log (2-x)} \approx \frac{1}{1-x}
\]
e l'integrale della funzione \(1/(1-x)\) diverge in \(1\); quindi la funzione integranda non ha integrale convergente in \(1\) e perciò la funzione integrale non può essere definita oltre tale punto.
Conseguentemente, la \(F\) è definita in \(]-\infty ,1[\).