Problema limite

[analisi2050]

Buongiorno, ho questo limite da calcolare al variare di \(\displaystyle \alpha > 0 \)
\( \displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha}\left(\sqrt[8]{x^{2}-2}-\sqrt[4]{x+1}\right),\ \ \ \ \text{con } \alpha > 0 \)

Io ho pensato, erratamente che si risolvesse in questo modo:

\(\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty } x^{\alpha }\left(\sqrt[8]{x^{2} -2} -\sqrt[4]{x+1}\right) =\lim _{x\rightarrow +\infty } x^{\alpha }\left(\sqrt[8]{x^{2}} -\sqrt[4]{x}\right) =\lim _{x\rightarrow +\infty } x^{\alpha }\underset{0}{\left(\sqrt[4]{x} -\sqrt[4]{x}\right)} =x^{\alpha } \cdot 0=0\forall \alpha \)

E/o in questo:

\(\displaystyle \begin{aligned}
\lim _{x\rightarrow +\infty } x^{\alpha }\left(\sqrt[8]{x^{2} -2} -\sqrt[4]{x+1}\right) & =\lim _{x\rightarrow +\infty }\left( x^{\alpha }\sqrt[8]{x^{2} -2} -x^{\alpha }\sqrt[4]{x+1}\right)\\
& =\lim _{x\rightarrow +\infty }\left( x^{\alpha }\sqrt[8]{x^{2}} -x^{\alpha }\sqrt[4]{x}\right) =\lim _{x\rightarrow +\infty }\left( x^{\alpha +1/4} -x^{\alpha +1/4}\right) =0
\end{aligned} \)

Ma secondo la soluzione l'esercizio è:

\(\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty } x^{\alpha }\left(\sqrt[8]{x^{2} -2} -\sqrt[4]{x+1}\right) =\begin{cases}
-\infty & \text{per } \alpha \geqslant 1\\
0 & \text{per } 0< \alpha < 1
\end{cases} \)

Dove sbaglio io?

EDIT la soluzione corretta è la seguente

\(\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty } x^{\alpha }\left(\sqrt[8]{x^{2} -2} -\sqrt[4]{x+1}\right) =\begin{cases}{-\frac{1}{4}} & {\text { if }} & {a=} {\frac{3}{4}} \\ {-\infty} & {\text { if }} & {a>\frac{3}{4}} \\ {0} & {\text { if }} & {0

[anto_zoolander]

Ciao e benvenuto!

Considerando solo quelle due radici; potresti portarti nella situazione di avere $g(x)*[root(8)(1+f(x))-1]$ con $f(x)->0$ per sfruttare i limiti notevoli.
Ho fatto il calcolo e mi viene diverso ti metto la mia soluzione sotto spoiler; utilizzando Wolfram mi tornano anche i risultati

$root(8)(x^2-2)-root(4)(x+1)=root(4)(x+1)[root(8)((x^2-2)/(x^2+2x+1))-1]$

Ragionando su quella frazione possiamo sommare e sottrarre $1$

$(x^2-2)/(x^2+2x+1)-1+1=(x^2-2-x^2-2x-1)/(x^2+2x+1)+1=1-(2x+3)/(x^2+2x+1)$

Da notare che la frazione tende a $0$ quindi il rapporto è definitivamente $<1$ pertanto non ci sono problemi nel fare questa manipolazione.
Visto che tende a $0$ riscrivo il limite come segue

$lim_(x->+infty)x^aroot(4)(x+1)[root(8)(1-(2x+2)/(x^2+2x+1))-1]$

Essendo il limite di un prodotto possiamo sfruttare le equivalenze asintotiche

$root(4)(x+1)approxroot(4)(x)$ e l’altra parentesi $approx -1/8*(2x+2)/(x^2+2x+1)approx-1/(4x)$

Quindi tutto si semplifica a $-1/4lim_(x->+infty)x^(a-3/4)={(-1/4 if a=3/4),(-infty if a>3/4),(0 if 0

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[analisi2050]

Grazie