Problema Integrali Triplo su sfera con centro diverso dall'origine

[andrea.bellizzi1]

Ho il seguente testo
"Calcolare l'integrale triplo
$ int int int_(E)^() z dx dy dz $ esteso al dominio V
Dove V è l'insieme interno al tetraedro limitato dai piani x=0, y=0, z=0, x+y+z=3- $ sqrt3 $ ed esterno alla sfera di centro (1,1,1) e raggio 1;"

Per prima cosa devo calcolare sul dominio compreso tra il tetraedro e la sfera quindi so che
$ int int int_(E)^() z dx dy dz $ = $ int int int_(T)^() z dx dy dz $ -$ int int int_(S)^() z dx dy dz $
dove T è il tetraedro e S è la sfera. Ora l'integrale sul tetraedro lo sono riuscito a calcolare, quello della sfera sto avendo qualche difficoltà.
Facendo il passaggio a coordinate polari mi trove che $ int int int_()^() z dx dy dz $ =$ int int int_()^()\rho*sen\varphi*\rho^2*sen\varphi d \rho d \vartheta d \varphi $ e so che 0 $\leq$ $ \varphi $ $\leq$ $\Pi/2$ e 0$\leq$ $\vartheta$ $\leq$ $2*\Pi$ . $\rho$ dovrebbe essere sicuramente maggiore di 0. Per trovarmi il massimo valore, scrivendo l'equazione della sfera di raggio 1 e centro(1,1,1) ottengo $\rho^2$=$2sen\varphi cos\vartheta+2sen\varphi sen\vartheta +2cos\varphi$. Andando a integrare mi trovo che il primo integrale è $int_()^()(1/4)*(2sen\varphi cos\vartheta+2sen\varphi sen\vartheta +2cos\varphi)^4 d \vartheta$. Arrivato qui mi sono fermato un attimo poichè un trinomio elevato alla quarta che poi deve essere integrato mi è sembrato sbagliato anche perchè proposto su un libro di esercizi mi sembra un po troppo. Vorrei chiedere prima di dilungarmi nel lunghissimo calcolo dei millemila integrali che mi usciranno se sto facendo bene o ho sbagliato qualcosa?

[poll89]

beh, come hai notato tu la sfera non è centrata nell'origine, quindi la trasformazione sarà $ { ( x-1= ...),( y-1=... ),( z-1=... ):} $ (al posto dei puntini metti le solite coordinate sferiche).

Mi sembra invece tu abbia applicato quella standard con centro in O. Un intero scritto di analisi 3 mi andò a p*****e per questo errore. almeno tu salvati