Problema Integrali Superficie
Buongiorno a tutti, mi sono appena iscritto e trovo questo sito molto utile..
un problema che ho è nella risoluzione di integrali di superficie, sotto ne ho postato uno risolto, secondo voi è corretto?
Potreste postarmi un'eventuale risoluzione?
Grazie in anticipo a tutti coloro che mi aiuteranno e chiedo scusa in anticipo se sarò un pò rompi ***** con le mie domande!
un problema che ho è nella risoluzione di integrali di superficie, sotto ne ho postato uno risolto, secondo voi è corretto?
Potreste postarmi un'eventuale risoluzione?
Grazie in anticipo a tutti coloro che mi aiuteranno e chiedo scusa in anticipo se sarò un pò rompi ***** con le mie domande!
Risposte
$[-1/2,1/2]xx[0,1]$ è un quadrato, non è un cerchio,
non può essere questo l'insieme al quale deve appartenere la coppia $(u,v)$,
se vuoi usare quella parametrizzazione. Infatti i parametri u e v che stai usando coincidono proprio
con le coordinate cartesiane. Con quella parametrizzazione dovresti scrivere:
$(u,v) in Omega$ dove $Omega:={(x,y) in RR^2 : y>=0, x^2+y^2-y<=0}$ (tra l'altro il primo vincolo $y>=0$
è superfluo, perché già contenuto nel secondo). Così però ti complichi la vita.
Io S la parametrizzerei così:
${(x(u , v)=ucosv),(y(u , v)=1/2+usinv),(z(u , v)=ucosv(1/2+usinv)):}, "con "(u,v) in (0,1/2) xx (0,2pi)$
e qui u e v assumono il significato di coordinate polari, con polo nel punto (0,1/2).
[Non è detto che i parametri debbano per forza avere un significato particolare, possono anche non averlo...]
Se ora imposti l'integrale e semplifichi l'integranda arrivi a:
$int_M u^2/2 cosv (2u sin v + 1) du dv$
dove $M=(0,1/2)xx(0,2pi)$
Facendo i conti il risultato viene 0, e uno questo se lo poteva anche aspettare, facendo considerazioni
sulla simmetria del dominio di integrazione rispetto all'asse y e sul segno che l'integranda assume quando
ci si sposta all'interno di questo dominio. Anche col tuo procedimento si ottiene il risultato corretto,
ma ciò non vuol dire che esso sia corretto, è solo un caso.
non può essere questo l'insieme al quale deve appartenere la coppia $(u,v)$,
se vuoi usare quella parametrizzazione. Infatti i parametri u e v che stai usando coincidono proprio
con le coordinate cartesiane. Con quella parametrizzazione dovresti scrivere:
$(u,v) in Omega$ dove $Omega:={(x,y) in RR^2 : y>=0, x^2+y^2-y<=0}$ (tra l'altro il primo vincolo $y>=0$
è superfluo, perché già contenuto nel secondo). Così però ti complichi la vita.
Io S la parametrizzerei così:
${(x(u , v)=ucosv),(y(u , v)=1/2+usinv),(z(u , v)=ucosv(1/2+usinv)):}, "con "(u,v) in (0,1/2) xx (0,2pi)$
e qui u e v assumono il significato di coordinate polari, con polo nel punto (0,1/2).
[Non è detto che i parametri debbano per forza avere un significato particolare, possono anche non averlo...]
Se ora imposti l'integrale e semplifichi l'integranda arrivi a:
$int_M u^2/2 cosv (2u sin v + 1) du dv$
dove $M=(0,1/2)xx(0,2pi)$
Facendo i conti il risultato viene 0, e uno questo se lo poteva anche aspettare, facendo considerazioni
sulla simmetria del dominio di integrazione rispetto all'asse y e sul segno che l'integranda assume quando
ci si sposta all'interno di questo dominio. Anche col tuo procedimento si ottiene il risultato corretto,
ma ciò non vuol dire che esso sia corretto, è solo un caso.
Grazie,
mi sei stato di grande aiuto!
Se ne posto un altro.. potresti darmi una mano con lo svolgimento?
grazie e scusa il disturbo!!
mi sei stato di grande aiuto!
Se ne posto un altro.. potresti darmi una mano con lo svolgimento?
grazie e scusa il disturbo!!
Spero solo che tu abbia capito la linea guida... Postane quanti vuoi, ricordando pero' sempre che questo non è un sito
di nerd bassi brutti e con gli occhiali, al servizio 24 h no stop per mettere online le soluzioni degli esercizi posti dagli studenti...
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grazie!!sinceramente non mi è mai passato per la testa!
Comunque adesso faccio qualche esercizio!
Buongiorno,
ho problemi con questi 2 esercizi.. quando mi trovo di fronte ad un esercizio dove vi è una superficie di rotazione, come mi devo comportare?
Rispetto all'esercizio precedente qui la circonferenza è goniometrica di raggio 2.
La rapp. parametrica del primo esercizio, secondo voi, va bene in questo modo?
x(u,v) = u cosv
y(u,v) = u sinv
z(u,v) = u^2 cos^2v
con (u,v) € (0,2)x(0,2pigreco)
??
Scusatemi.. ma proprio non so come svolgerli...
Grazie in anticipo a chiunque possa aiutarmi.
ho problemi con questi 2 esercizi.. quando mi trovo di fronte ad un esercizio dove vi è una superficie di rotazione, come mi devo comportare?
Rispetto all'esercizio precedente qui la circonferenza è goniometrica di raggio 2.
La rapp. parametrica del primo esercizio, secondo voi, va bene in questo modo?
x(u,v) = u cosv
y(u,v) = u sinv
z(u,v) = u^2 cos^2v
con (u,v) € (0,2)x(0,2pigreco)
??
Scusatemi.. ma proprio non so come svolgerli...
Grazie in anticipo a chiunque possa aiutarmi.
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