Problema integrali indefinito

[daddeno96]

Salve ragazzi ringrazio anticipatamente chiunque mi dia una mano con una spiegazione per quanto riguarda qursto integrale....
nel risolvere un integrale per sostituzione mi è capitato questo integrale
$ int_(e)^(e^2) 1/(t^2+3) dx $
ho risolto lintegrale e mi è uscito
$ 1/3arctan (t/3^(1/2)) $
ma la soluzione del libro porta
$ 1/3^(1/2) arctan (t/3^(1/2)) $
mi potreste gentilmente spiegare cosa ho sbagliato e mostrare come si risolve quando capita un imtegrale di questo tipo?

[MementoMori2]

Ciao, allora innanzitutto tale integrale è:
$ int_(e)^(e^2) 1/(t^2+3) dt $ e non $dx$

come hai intuito adesso devi ridurlo nella forma : $ 1/(1+t^2) $
per fare questo procediamo in questo modo:

$ int_(e)^(e^2) 1/3/(t^2/3+3/3) dt $

$ (1/3 )* int_(e)^(e^2) 1/((t/sqrt 3)^2 +1) dt $

Come puoi vedere non è la semplice forma : $ int_(e)^(e^2) 1/(1+t^2) dt $
Quindi per ricondurti all'arcotangente, a numeratore vi deve essere la derivata della funzione: $t/sqrt 3$ ovvero $1/sqrt 3 $ quindi l'integrale sarà:

$ (sqrt 3/3 )* int_(e)^(e^2) 1 /(sqrt 3)/((t/sqrt 3)^2 +1) dt $

Quindi $ sqrt 3 /3 * arctan (t/sqrt(3)) $

Dato che : $ sqrt 3 /3 $ = $ 1/ sqrt(3) $ , il nostro procedimento è corretto

[daddeno96]

Si grazie ho dimenticato di cambiare il differenziale grazie infinite però non riesco ancora a capire da dove esce il radical 3 al numeratore

[MementoMori2]

Come già detto, a numeratore deve esserci la derivata di $ t/sqrt 3 $ ovvero $ 1/ sqrt 3 $ ma ovviamente non puoi andare semplicemente a moltiplicare per $ 1/ sqrt 3$ altrimenti ottieni un'altra funzione, allora devi andare a moltiplicare e dividere per : $ sqrt 3/ sqrt 3 $

$(1/3 )* int_(e)^(e^2) sqrt 3 /(sqrt 3)/((t/sqrt 3)^2 +1) dt$

e successivamente porti fuori il $ sqrt 3$