Problema integrale improprio con parametro

[jarrod]

Ho l'integrale $\int_{1}^{+oo} 1/(x (sqrtx - 1)^\alpha) dx$, converge se e solo se per quali valori di $\alpha$?
Io ho applicato $\lim_{M \to \infty}\int_{1}^{M} 1/(x^(\alpha/2 + 1))dx$
Però c'è quel parametro che mi blocca e non riesco a capire come procedere..

[Anacleto13]

E' una definizione : per $xto+infty$ l'integrale converge se $beta>1$ ovvero :converge se $alpha/2+1>1$ ovvero se $alpha>0$

[jarrod]

ora ho capito che si tratta di un integrale improprio notevole..
Non li avevo mai visti in vita mia..
Grazie mille per l'osservazione!

[Anacleto13]

Capisco.. se ti può aiutare, il comportamento é identico a quello delle serie armoniche ( per quando riguarda $xtoinfty$ )

[jarrod]

Hai ragione, adesso che ci penso.. Grazie mille ancora!

[otta96]

Bisogna stare attenti che c'è un problema anche in 1, perché se $\alpha>0$ il denominatore si annulla, però $sqrtx-1=(x-1)/2+o(x-1)$, quindi il problema in 1 si supera sse $\alpha<1$ quindi tutto l'integrale converge sse $0<\alpha<1$.

[jarrod]

"otta96":Bisogna stare attenti che c'è un problema anche in 1, perché se $\alpha>0$ il denominatore si annulla, però $sqrtx-1=(x-1)/2+o(x-1)$, quindi il problema in 1 si supera sse $\alpha<1$ quindi tutto l'integrale converge sse $0<\alpha<1$.

Effettivamente il risultato del libro è questo, non ci avevo fatto caso..
scuse le domande, io non capisco entrambe le cose, cioè come fai a capire che il denominatore si annulla, ma soprattutto come fai a giungere che $\alpha < 1$?
Perchè comunque poi ho capito che faccio il sistema tra $\alpha > 0$ e $\alpha < 1$ e ottengo $0 < \alpha < 1$

[otta96]

Per capire che il denominatore si annulla in 1 è facile, se a $sqrtx-1$ ci sostituisci 1, il risultato è 0; poi sviluppando con Taylor $sqrtx$ in 1 e notando che la x non dà nessun problema $(sqrtx-1)^\alpha$ ti diventa circa $((x-1)/2)^\alpha$, che è come se fosse l'integrale da 0 di $(x/2)^\alpha$, che converge se $\alpha<1$.