Problema integrale improprio

[pizzi]

ciao a tutti! ho un problema con questo integrale:
$ int_(0)^(pi) (e^x-1)/(sinx)^a $
l'ho spezzato..da 0 a 1 è facile..perché asintotico a $ 1/x^(a-1) $
ma da 1 a $pi$ mi da problemi...
il numeratore fa il bravo..è positivo e non ci sono problemi..ma il seno lo approssimo con $-x$ per $x->pi$ giusto??
e con il $(-x)^a$ che ci faccio ora???!
io azzarderei che l'integrale da $1->pi$ converge sempre per $a<2$ (o se non è proprio questo un valore non lontano..) perché comunque devo guardare la velocità con cui la funzione va a $oo$ mica altre cose...però se qualcuno ha un metodo più rigoroso lo ringrazio!!

[dissonance]

Ti ho cancellato il messaggio doppio. Se ti dovesse capitare di inviare due messaggi uguali per sbaglio, per favore usa tu stesso il pulsante "CANCELLA" in alto a destra per eliminarne uno. Grazie.

[pizzi]

Grazie!! Lo stavo per fare anche io...ma oggi il forum andava lentissimo...

[pizzi]

uppo!! qualcuno mi aiuta please??!

[stefano_89]

per $x -> \pi$ puoi sostiuire $sin^a(x) \sim (\pi - x)^a$

[pizzi]

quindi ho convergenza per $a<1$??

[stefano_89]

"pieerr":quindi ho convergenza per $a<1$??

Si direi di si..

[pizzi]

si però c'è un problema...(almeno credo...!!) la funzione a numeratore è sì limitata in $(1,pi)$...ma non trascurabile...

[Paolo902]

"pieerr":si però c'è un problema...(almeno credo...!!) la funzione a numeratore è sì limitata in $(1,pi)$...ma non trascurabile...

Ma no, non direi. E' una costante, positiva tra l'altro: $e^pi-1$. Chiamala $k$ e non la guardare più

In parole povere:

Per $x to pi$ hai $(e^x-1)/(sinx)^alpha=(e^pi-1)/(sin(pi-x))^alpha sim k/(x-pi)^alpha sim k*1/x^alpha$, per cui hai convergenza se e soltanto se...

Mettendo insieme i valori trovati al punto precedente con questi hai l'insieme di tutti e soli gli $alpha$ per cui il tuo integrale converge.