Problema integrale doppio con cambiamento di variabili
Ciao a tutti ho un problema con questo integrale
\( \iint_{d}^{}\, 1/(x^2+y^2)^2 dx, dy \)
dove D è la regione piana del 1° quadrante limitata da \( x^2+y^2=1/4 ,y=x/\surd 3 ,y=\surd 3 *x \) e da \( xy=1 \)
la traccia mi dice di usare coordinate polari ma non riesco proprio ad individuare il dominio.Qualcuno mi può aiutare?
Grazie
\( \iint_{d}^{}\, 1/(x^2+y^2)^2 dx, dy \)
dove D è la regione piana del 1° quadrante limitata da \( x^2+y^2=1/4 ,y=x/\surd 3 ,y=\surd 3 *x \) e da \( xy=1 \)
la traccia mi dice di usare coordinate polari ma non riesco proprio ad individuare il dominio.Qualcuno mi può aiutare?
Grazie
Risposte
In coordinate polari $x=\rho\cos t,\ y=\rho\sin t$ l'itegrale diventa
$\int\int_D 1/{\rho^4}\ \rho\ d\rho\ dt=\int\int_D 1/{\rho^3}\ d\rho\ dt$
mentre le condizioni per le curve che delimitano il dominio diventano
$\rho=1/2,\ \sin t=1/\sqrt{3}\ \cos t,\ \sin t=\sqrt{3}\ \cos t,\ \rho^2\sin t\cos t=1$
Ti consiglio però, prima di tutto, di disegnare le curve in forma cartesiana e riflettere su quale sia, effettivamente, il dominio su cui integrare. Da lì, cercare di capire come variano $\rho,\ t$ dovrebbe essere semplice.
$\int\int_D 1/{\rho^4}\ \rho\ d\rho\ dt=\int\int_D 1/{\rho^3}\ d\rho\ dt$
mentre le condizioni per le curve che delimitano il dominio diventano
$\rho=1/2,\ \sin t=1/\sqrt{3}\ \cos t,\ \sin t=\sqrt{3}\ \cos t,\ \rho^2\sin t\cos t=1$
Ti consiglio però, prima di tutto, di disegnare le curve in forma cartesiana e riflettere su quale sia, effettivamente, il dominio su cui integrare. Da lì, cercare di capire come variano $\rho,\ t$ dovrebbe essere semplice.
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