Problema integrale di superficie

[alexalex94]

Sia E il sottoinsieme del piano racchiuso tra l’asse delle x e la curva
$γ(t) = (2t,sin(t) − cos(t)) $ con $t ∈ [pi/4,(5pi)/4]$

Si calcoli

$ int int_E (x − 2y) dx dy$


Allora, io ho iniziato con un cambio di variabili ovvero $s=2t$ ottenendo quindi $γ(s) = (s,sin(s/2) − cos(s/2)) $ con $ s ∈ [pi/2,(5pi)/2]$.

Le soluzioni dicono che bisogna svolgere questo integrale:
$int int_E (x − 2y) dx dy = int_(pi/2)^((5pi)/2) x (sen(x/2)-cos(x/2)) dx - int_(pi/2)^((5pi)/2)dx int_(0)^(sen(x/2)-cos(x/2)) 2y dy $.

Perchè fa così? Capisco solo questa parte $int_(pi/2)^((5pi)/2)dx int_(0)^(sen(x/2)-cos(x/2)) 2y dy $, ma non capisco perchè fa quella differenza e come viene fuori questo integrale $int_(pi/2)^((5pi)/2) x (sen(x/2)-cos(x/2)) dx$

Qualcuno mi potrebbe spiegare?
Grazie in anticipo!!

[alexalex94]

Quindi la soluzione 'ufficiale' è $−∫_(π/2)^(5π/2)dx∫_(0)^(sen(x/2)−cos(x/2))2ydy$?

[alexalex94]

Ora mi torna! Ancora grazie mille! Molto gentile