[Problema] Integrale Curvilineo di funzione

[Carlo952]

Salve,
ho il seguente problema:
Calcolare l'integrale curvilineo
\(\displaystyle \int_\gamma xy \ ds \)
con:

\(\displaystyle \gamma : \begin{cases} x(t)=5cos(t) \\ y(t)=2sen(t) \end{cases} \) \(\displaystyle t \in [0,\frac{\pi}{2}] \)

Usando la definizione si ha che:
\(\displaystyle \int_\gamma xy \ ds = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \, f(x(t), y(t)) \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \ dt =\\ \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \, ((5cos(t))^2 + (2sin(t))^2) \sqrt{(-5sin(t))^2 + (2cos(t))^2} \ dt =\\ \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \, (25cos^2(t) + 4sin^2(t)) \sqrt{25sen^2(t) + 4cos^2(t)} \ dt =\\ \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \, (25cos^2(t) + 4(1 - cos^2(t))) \sqrt{25(1-cos^2(t)) + 4cos^2(t)} \ dt =\\ \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \, (21cos^2(t) + 4) \sqrt{25 - 21cos^2(t)} \ dt=\\ 21\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \, cos^2(t)\sqrt{25 - 21cos^2(t)} \ dt+ 4\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \, \sqrt{25 - 21cos^2(t)} \ dt\)
Tutto si riduce a calcolare questi due integrali:
\(\displaystyle \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \, cos^2(t)\sqrt{25 - 21cos^2(t)} \ dt \) e
\(\displaystyle \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \, \sqrt{25 - 21cos^2(t)} \ dt \)

Ho provato in svariati modi a risolverli, usando formule trigonometriche, per sostituzione, ma non riesco a risolverli in alcun modo, aiuto !

[Carlo952]

"TeM":Applicando la definizione di integrale curvilineo di prima specie, si ha
\[
\begin{aligned}
\int_{\gamma} x\,y\,d\mathbf{s}
& = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (5\,\cos t)\,(2\,\sin t)\,\sqrt{(- 5\,\sin t)^2 + (2\,\cos t)^2}\,dt \\
& = \frac{10}{42}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4 + 21\,\sin^2 t}\,(42\,\sin t\,\cos t\,dt) \\
& = \frac{5}{21}\int_4^{25} u^{\frac{1}{2}}\,du \\
& = \frac{5}{21} \cdot 78 \\
& = \frac{130}{7} \; .
\end{aligned}
\] Rivedi i tuoi passaggi fin dalle prime battute...

Grazie per aver risposto TeM,
ho preso una svista allucinante al primo passaggio, ancora non riesco a credere di aver fatto un errore così stupido .
Ho rivisto i calcoli(2 volte) e mi trovo, fatta la sostituzione \(\displaystyle \\ u=4+21sin^2(t) \\ \) diventa immediato .