Problema integrale complesso

[andrea.9111]

Buongiorno a tutti, mi scuso in anticipo per la domanda probabilmente un po' stupida che sto per porvi.
Il problema riguarda il calcolo di integrali lungo cammini parametrizzati nel campo complesso: si consideri la funzione \(\displaystyle f(z)=1/z \) e se ne voglia calcolare l'integrale \(\displaystyle \int\frac{1}{z}dz \) su un cammino \(\displaystyle \gamma=\gamma(t) \) che va dal punto (1,0) al punto (-1,0).
Se calcolo l'integrale sul cammino orientato \(\displaystyle \gamma(t)=exp(it) \) con \(\displaystyle t\in[0,\pi] \) ottengo come risultato dell'integrale il valore \(\displaystyle i\pi \) che mi sembra corretto.
La funzione è olomorfa sul suo dominio ovvero in \(\displaystyle \mathbb{C}-\{0\} \) e 0 è un punto singolare. Mi chiedevo, non dovrebbe risultare uguale il valore dell'integrale calcolato su una spezzata di segmenti (ad esempio sui tre segmenti che vanno da 1 a 1+i, da 1+i a -1+i, da -1+i a -1)? Tuttavia calcolando l'integrale sui segmenti il risultato mi si annulla quando sommo i vari contributi.

Grazie

[Sk_Anonymous]

Devi aver sbagliato i conti.

[andrea.9111]

E' quello che credo anche io. Ho provato con la funzione f(z) = 1/z^2 e mi torna. Non capisco probabilmente come integrare la funzione 1/z. Se prendo ad esempio il cammino \(\displaystyle \gamma(t)=1+it \) con t\in[0,1] l'integrale risulta:

\(\displaystyle \int \frac{1}{z}dz = \int \frac{i}{1+it}dt = log|1+it|\) da studiare tra 0 e 1. Tuttavia non sono sicuro di come utilizzare il logaritmo in campo complesso.

[Sk_Anonymous]

$\int_{0}^{1}1/(1+it)idt-\int_{-1}^{1}1/(t+i)dt-\int_{0}^{1}1/(-1+it)idt=$

$=log(1+i)-log1-log(1+i)+log(-1+i)-log(-1+i)+log(-1)=$

$=log(-1)=$

$=pii$

[andrea.9111]

Ma perché la primitiva è log(1+it) e non log|1+it|=log|1+i|-log|1| dove poi |1+i|=\(\displaystyle \sqrt{2} \)?

[Sk_Anonymous]

Nel caso complesso, la derivata di $[logz]$ è $[1/z]$. Quando integri, non devi mettere il modulo.

[andrea.9111]

Giusto. Ok adesso è chiaro. Ti ringrazio!