Problema integrale
Salve a tutti.. Ho una difficoltà nel calcolo dell'integrale che dovrebbe darmi la funzione di densità della distribuzione t di student (so che riguarda probabilità ma il mio problema è analitico 
).
L'integrale che devo svolgere è questo:
$I= (1/sqrt(2pi))*int_(0)^(+oo ) (y/n)^(1/2) * e^(-(z^2y)/(2n))*(1/2)^(n/2)*(1/(Gamma(n/2)))*y^(n/2-1)*e^(-y/2) dy $
il cui risultato dovrebbe essere:
$ (1/sqrt(n*pi)) * (Gamma((n+1)/2) )/(Gamma(n/2))*1/(1+z^2/n)^((n+1)/2) $
Questo è quello che ho fatto io e c'è sicuramente qualcosa di sbagliato perchè ottengo un risultato simile ma non esatto!
$ I= (1/(2*pi*n))^(1/2)*(1/2)^(n/2)*1/(Gamma(n/2))int_(0)^(+oo) y^((n-1)/2)*e^(-(y(z^2+n))/(2n)) dy = $ $=((1/(2*pi*n))^(1/2)*(1/2)^(n/2)*1/(Gamma(n/2)))/(((z^2+n)/(2n))^((n-1)/2))int_(0)^(+oo) ((z^2+n)/(2n)*y)^((n-1)/2)*e^(-(y(z^2+n))/(2n)) dy =$
$ = ((1/(pi*n))^(1/2)*(1/2)^((n+1)/2)*(Gamma((n+1)/2))/(Gamma(n/2)))/(((z^2+n)/(2n))^((n-1)/2)) $
Ora il problema sta nell'esponente del denominatore che dovrebbe essere $ (n+1)/2 $
Ho svolto l'integrale svariate volte ma il risultato non cambia. Non capisco il mio errore.. Qualcuno può aiutarmi? =)
).L'integrale che devo svolgere è questo:
$I= (1/sqrt(2pi))*int_(0)^(+oo ) (y/n)^(1/2) * e^(-(z^2y)/(2n))*(1/2)^(n/2)*(1/(Gamma(n/2)))*y^(n/2-1)*e^(-y/2) dy $
il cui risultato dovrebbe essere:
$ (1/sqrt(n*pi)) * (Gamma((n+1)/2) )/(Gamma(n/2))*1/(1+z^2/n)^((n+1)/2) $
Questo è quello che ho fatto io e c'è sicuramente qualcosa di sbagliato perchè ottengo un risultato simile ma non esatto!
$ I= (1/(2*pi*n))^(1/2)*(1/2)^(n/2)*1/(Gamma(n/2))int_(0)^(+oo) y^((n-1)/2)*e^(-(y(z^2+n))/(2n)) dy = $ $=((1/(2*pi*n))^(1/2)*(1/2)^(n/2)*1/(Gamma(n/2)))/(((z^2+n)/(2n))^((n-1)/2))int_(0)^(+oo) ((z^2+n)/(2n)*y)^((n-1)/2)*e^(-(y(z^2+n))/(2n)) dy =$
$ = ((1/(pi*n))^(1/2)*(1/2)^((n+1)/2)*(Gamma((n+1)/2))/(Gamma(n/2)))/(((z^2+n)/(2n))^((n-1)/2)) $
Ora il problema sta nell'esponente del denominatore che dovrebbe essere $ (n+1)/2 $
Ho svolto l'integrale svariate volte ma il risultato non cambia. Non capisco il mio errore.. Qualcuno può aiutarmi? =)
Risposte
A me viene fuori che l'integrale, portando fuori le costanti, deve essere questo:
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{1}{\Gamma(n/2)}\cdot\frac{1}{2^{n/2}\sqrt{n}}\int_0^{+\infty} y^{n/2}\cdot e^{-y(z^2+n)/(2n)}\ dy$$
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{1}{\Gamma(n/2)}\cdot\frac{1}{2^{n/2}\sqrt{n}}\int_0^{+\infty} y^{n/2}\cdot e^{-y(z^2+n)/(2n)}\ dy$$
Grazie per la risposta però non capisco perché portando fuori le costanti a te resta dentro l'integrale solo $ y^(n/2)$.
Perché in $ I $ c'è $ y^(n/2-1) * y^(1/2) $ oltre che altri fattori.. La somma non dovrebbe essere $ y^((n-1)/2) $ o al più $ y^((n+1)/2 -1) $ (se vogliamo riscriverlo in maniera diversa)?
Perché in $ I $ c'è $ y^(n/2-1) * y^(1/2) $ oltre che altri fattori.. La somma non dovrebbe essere $ y^((n-1)/2) $ o al più $ y^((n+1)/2 -1) $ (se vogliamo riscriverlo in maniera diversa)?
Avevo letto ${n-1}/2$, e non $n/2 -1$, sorry.
Forse è solo una questione di metodo: partendo d questo integrale
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{1}{\Gamma(n/2)}\cdot\frac{1}{2^{n/2}\sqrt{n}}\int_0^{+\infty} y^{(n-1)/2}\cdot e^{-y(z^2+n)/(2n)}\ dy$$
poni $t={y(z^2+n)}/{2n}$ da cui segue il seguente intergale
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{1}{\Gamma(n/2)}\cdot\frac{1}{2^{n/2}\sqrt{n}}\cdot\left(\frac{2n}{z^2+n}\right)^{(n+1)/2}\int_0^{+\infty} t^{(n-1)/2}\cdot e^{-t}\ dy=\\
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{1}{\Gamma(n/2)}\cdot\frac{1}{2^{n/2}\sqrt{n}}\cdot\left(\frac{2^{n/2}\cdot \sqrt{2}\cdot n^{(n+1)/2}}{(z^2+n)^{(n+1)/2}}\right)\cdot\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)=\\
\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cdot\frac{1}{\Gamma(n/2)}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\left(\frac{1}{(z^2/n+1)^{(n+1)/2}}\right)\cdot\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)$$
che mi pare sia l'espressione che cercavi.
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{1}{\Gamma(n/2)}\cdot\frac{1}{2^{n/2}\sqrt{n}}\int_0^{+\infty} y^{(n-1)/2}\cdot e^{-y(z^2+n)/(2n)}\ dy$$
poni $t={y(z^2+n)}/{2n}$ da cui segue il seguente intergale
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{1}{\Gamma(n/2)}\cdot\frac{1}{2^{n/2}\sqrt{n}}\cdot\left(\frac{2n}{z^2+n}\right)^{(n+1)/2}\int_0^{+\infty} t^{(n-1)/2}\cdot e^{-t}\ dy=\\
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{1}{\Gamma(n/2)}\cdot\frac{1}{2^{n/2}\sqrt{n}}\cdot\left(\frac{2^{n/2}\cdot \sqrt{2}\cdot n^{(n+1)/2}}{(z^2+n)^{(n+1)/2}}\right)\cdot\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)=\\
\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cdot\frac{1}{\Gamma(n/2)}\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\left(\frac{1}{(z^2/n+1)^{(n+1)/2}}\right)\cdot\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)$$
che mi pare sia l'espressione che cercavi.
Sei stato super gentile =) Mi hai salvato la vita, grazie mille =)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo