Problema insiemi misurabili
Ho questo esercizio che mi da qualche problema di vario tipo. ($m(E)$ è la misura di Lebesgue di $E$).
Per un insieme $E\subset RR^n$ si definisce $m(E_i)=$ sup$\{m(F): F $chiuso, $F\subset E\}$.
Provare che:
a) $m(E_i)\le m(E)$
questo punto (credo) sia facile: in generale $F\subset E$ quindi $m(E)-m(E_i)\>= 0$
b) se $m(E)<+\infty$ allora $E$ è misurabile se e solo se $m(E_i)=m(E)$
questo mi è ostico, stavo pensando di applicare la definizione di sup, però non riesco a giungere da nessuna parte perché comunque $E$ è diverso da $E_i$ quindi mi sono impantanato. Alla fine stavo pensando di dire che lo è per definizione in quanto una delle definizioni viste nel corso di Analisi (vista come teorema se non ricordo male) dice che "$E$ è misurabile $m(E)= $sup$\{m(F): F $chiuso, $F\subset E\}$, però mi pare che le cose "voglio farmele riportare"...
c) se $m(E)=+\infty$ il punto b è falso e fornire un esempio in cui $m(E_i)=m(E)=+\infty$ ma $E$ non misurabile.
Questo mi getta nello sconforto anche perché non mi capacito del fatto che $E$ non sia misurabile ma abbia una misura infinita (quindi è misurabile)... Mah...
In generale in molti esercizi mi si chiede "dimostrare che non è misurabile un certo insieme", però, di misurabilità di sono solo caratterizzazioni vaghe (secondo me) come quella di Charateodory (non so nemmeno se si scrive così) o come altre simili che non riesco ad applicare e, se lo faccio, mi da la sensazione del "mi sono fatto la soluzione su misura" oppure del "me lo sono fatto riportare" che mi succede spesso sugli esercizi di Analisi (poi magari scopro che è giusto, però è un'altra storia...)...
Per un insieme $E\subset RR^n$ si definisce $m(E_i)=$ sup$\{m(F): F $chiuso, $F\subset E\}$.
Provare che:
a) $m(E_i)\le m(E)$
questo punto (credo) sia facile: in generale $F\subset E$ quindi $m(E)-m(E_i)\>= 0$
b) se $m(E)<+\infty$ allora $E$ è misurabile se e solo se $m(E_i)=m(E)$
questo mi è ostico, stavo pensando di applicare la definizione di sup, però non riesco a giungere da nessuna parte perché comunque $E$ è diverso da $E_i$ quindi mi sono impantanato. Alla fine stavo pensando di dire che lo è per definizione in quanto una delle definizioni viste nel corso di Analisi (vista come teorema se non ricordo male) dice che "$E$ è misurabile $m(E)= $sup$\{m(F): F $chiuso, $F\subset E\}$, però mi pare che le cose "voglio farmele riportare"...
c) se $m(E)=+\infty$ il punto b è falso e fornire un esempio in cui $m(E_i)=m(E)=+\infty$ ma $E$ non misurabile.
Questo mi getta nello sconforto anche perché non mi capacito del fatto che $E$ non sia misurabile ma abbia una misura infinita (quindi è misurabile)... Mah...
In generale in molti esercizi mi si chiede "dimostrare che non è misurabile un certo insieme", però, di misurabilità di sono solo caratterizzazioni vaghe (secondo me) come quella di Charateodory (non so nemmeno se si scrive così) o come altre simili che non riesco ad applicare e, se lo faccio, mi da la sensazione del "mi sono fatto la soluzione su misura" oppure del "me lo sono fatto riportare" che mi succede spesso sugli esercizi di Analisi (poi magari scopro che è giusto, però è un'altra storia...)...
Risposte
Per il punto b, la pensavo così:
siccome $E$ è misurabile, allora per qualsiasi $\varepsilon$ esiste un insieme $G$ aperto tale che $E\subseteq G$ e $m(G\\ E)<\varepsilon$;
poiché $G$ è aperto, allora può essere scritto come unione numerabile di chiusi $G=\cup_{k=0}^{\infty} I_k$;
in generale, $\forall n\in NN$, $\cup_{k=0}^{n} I_k$ è chiuso perché unione numerabile di chiusi, ed essendo chiuso è contenuto in $F$ a sua volta contenuto in $E$;
allora $\cup_{k=0}^{\infty} I_k \subseteq F \subseteq E \subseteq G$ il ché, per l'arbitrarietà di $\varepsilon$ dimostra che
$m(E_i)=$ sup$\{m(F): F$ chiuso, $F\subset E\}=m(E)$.
Manca da dire che $E$ è misurabile se e solo se lo è $E_i$...
Per il terzo, non mi capacito del fatto che devo dimostrare che, partendo da $E$ con misura infinita, arrivo a dire che non è misurabile... Mi sembra strano, se ha misura infinita è misurabile in partenza anche se la misura è infinita (credo)...
siccome $E$ è misurabile, allora per qualsiasi $\varepsilon$ esiste un insieme $G$ aperto tale che $E\subseteq G$ e $m(G\\ E)<\varepsilon$;
poiché $G$ è aperto, allora può essere scritto come unione numerabile di chiusi $G=\cup_{k=0}^{\infty} I_k$;
in generale, $\forall n\in NN$, $\cup_{k=0}^{n} I_k$ è chiuso perché unione numerabile di chiusi, ed essendo chiuso è contenuto in $F$ a sua volta contenuto in $E$;
allora $\cup_{k=0}^{\infty} I_k \subseteq F \subseteq E \subseteq G$ il ché, per l'arbitrarietà di $\varepsilon$ dimostra che
$m(E_i)=$ sup$\{m(F): F$ chiuso, $F\subset E\}=m(E)$.
Manca da dire che $E$ è misurabile se e solo se lo è $E_i$...
Per il terzo, non mi capacito del fatto che devo dimostrare che, partendo da $E$ con misura infinita, arrivo a dire che non è misurabile... Mi sembra strano, se ha misura infinita è misurabile in partenza anche se la misura è infinita (credo)...
Tutto sta nel modo in cui hai definito la misura di Lebesgue.
Come l'hai definita tu?
Cioè cos'è $m(E)$?
Come l'hai definita tu?
Cioè cos'è $m(E)$?
La misura di Lebesgue è stata definita in questo modo: considerando tutte le possibili famiglie di intervalli che ricoprono $E$ ed il loro volume (io lo chiamo così per ricordarmelo, in realtà è una funzione $v$ a cui non è stato dato un nome), $m(E)$ è l'estremo inferiore del volume tra quelli delle varie famiglie.
In altre parole $m(E)=$inf$\sum v(I_k)$ dove $\{I_k\}$ è ogni possibile ricoprimento di E e $v(I_k) = |b_1-a_1||b_2-a_2|...|b_n-a_n|$.
In pratica $v(I_k)$ - chiamata su wikipedia $\lambda (I_k)$ e, in seguito, $vol(I_k)$ , http://it.wikipedia.org/wiki/Misura_di_Lebesgue (che la spiega molto meglio di come l'ho spiegata anche io...) - è una produttoria ma non l'ho scritta come produttoria semplicemente perché il mio pc non carica l'editor di furmule del forum e devo scrivere le formule a mano (e come si scrive la produttoria a memoria non lo so!)... La mia fortuna è che ho scritto abbastanza in LaTeX negli anni passati e, nonostante un po' di ruggine, me la cavo abbastanza...
In altre parole $m(E)=$inf$\sum v(I_k)$ dove $\{I_k\}$ è ogni possibile ricoprimento di E e $v(I_k) = |b_1-a_1||b_2-a_2|...|b_n-a_n|$.
In pratica $v(I_k)$ - chiamata su wikipedia $\lambda (I_k)$ e, in seguito, $vol(I_k)$ , http://it.wikipedia.org/wiki/Misura_di_Lebesgue (che la spiega molto meglio di come l'ho spiegata anche io...) - è una produttoria ma non l'ho scritta come produttoria semplicemente perché il mio pc non carica l'editor di furmule del forum e devo scrivere le formule a mano (e come si scrive la produttoria a memoria non lo so!)... La mia fortuna è che ho scritto abbastanza in LaTeX negli anni passati e, nonostante un po' di ruggine, me la cavo abbastanza...
"Zero87":
Ho questo esercizio che mi da qualche problema di vario tipo. ($m(E)$ è la misura di Lebesgue di $E$).
Per un insieme $E\subset RR^n$ si definisce $m(E_i)=$ sup$\{m(F): F $chiuso, $F\subset E\}$.
Provare che:
b) se $m(E)<+\infty$ allora $E$ è misurabile se e solo se $m(E_i)=m(E)$
Ma se $m(E)<\infty$ allora ovviamente E è misurabile. Altrimenti come potresti parlare di $m(E)$?
Lo so, infatti è proprio per il testo che qualche punto mi da parecchi grattacapi...
"Zero87":
Lo so, infatti è proprio per il testo che qualche punto mi da parecchi grattacapi...
Io penso proprio che non vada qualcosa nel testo.
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