Problema: impostazione
si dimostri che tra tutti i rettangli di dato perimetro, quello di area massima è un quadrato.
chi riuscirebbe a darmi una mano nell'impostarlo, perchè non so come fare.
grazie a chiunque mi aiuterà?
chi riuscirebbe a darmi una mano nell'impostarlo, perchè non so come fare.
grazie a chiunque mi aiuterà?
Risposte
rettangoli scusate
Scrivi l'area del rettangolo come funzione di una (qui usi il perimetro fissato) variabile reale , definita su un opportuno intervallo. Poi cerca il massimo assoluto che assume tale funzione.
grazie mille, solo che il perimetro non viene dato anche se c'è scritto così...non so perchè ma la mia prof ha detto di assegnare dei valori...ma non ho capito come...il testo che ho scritto sopra è proprio quello che ci ha dato
Il perimetro è una costante, quindi possiamo chiamarlo $2p$, indico con $x$ la base del rettangolo, $0<=x<=p$, quindi l'altezza è $p-x$ e l'area del rettangolo diventa $A(x)=x*(p-x)=px-x^2$, la funzione è definita in un intervallo chiuso e limitato per cui ammette massimo e minimo assoluto che possono essere agli estremi del dominio o nei punti in cui si annulla la derivata prima...
Il problema ammette soluzioni anche nel campo della geometria analitica (basta osservare che la funzione area è una parabola rivolta verso il basso e che quindi il massimo è nel vertice).
Il problema è risolvibile per via elementare ponendo $A=px-x^2$ da cui $x^2-px+A=0$ che è un'equazione di secondo grado che ammette soluzione solo se $Delta>=0$ da cui $p^2-4A>=0$ e $A<=p^2/4$ per cui l'area massima è $A=p^2/4$, sostituendo il valore trovato per A nell'equazione si ottiene $x_1=x_2=p/2$ per cui il rettangolo avente area massima è il quadrato.
Il problema ammette soluzioni anche nel campo della geometria analitica (basta osservare che la funzione area è una parabola rivolta verso il basso e che quindi il massimo è nel vertice).
Il problema è risolvibile per via elementare ponendo $A=px-x^2$ da cui $x^2-px+A=0$ che è un'equazione di secondo grado che ammette soluzione solo se $Delta>=0$ da cui $p^2-4A>=0$ e $A<=p^2/4$ per cui l'area massima è $A=p^2/4$, sostituendo il valore trovato per A nell'equazione si ottiene $x_1=x_2=p/2$ per cui il rettangolo avente area massima è il quadrato.
grazie ...quindi px-x elevato alla seconda è la mia funzione da cui posso fare los tudio del segno o sbaglio?
non riesco a capire una cosa: come mai p fratto 2 può essere definito come il quadrato di area massima
Se uno dei lati del rettangolo misura $p/2$ anche l'altro che è $p-p/2=p/2$ è uguale, quindi si tratta di un quadrato
ok perfetto ...un pò alla volta sto capendo tutto...una sola cosa mi rimane ancora: abbiamo l'equazione di secondo grado da riolvere per arrivare al risultato...perchè prendiamo in considerazione solo il delta e non facciamo tutta la risoluzione dell'equazione?
e un 'ultima cosa perchè l'altezza la calcoliamo come p-x??? viene fatto perchè è cio che rimane a parte la base non contando l'altra base e l'altra altezza?
ok ho capito p-x...è perchè è semiperimetro...ma non riesco ancora a comprendere come mai dato che abbiamo l'equazione di secondo grado da risolvere per arrivare al risultato...perchè prendiamo in considerazione solo il delta e non facciamo tutta la risoluzione dell'equazione?
Veramente la risoluzione dell'equazione l'ho lasciata a te e ti ho detto che risolvendola ottieni che i valori di base e altezza sono uguali.
Ti ho postato 3 modo di soluzione perchè non sapendo che cosa stai studiando volevo farti vedere i vari metodi, affinché potessi scegliere quello che ti era più congeniale.
Ti ho postato 3 modo di soluzione perchè non sapendo che cosa stai studiando volevo farti vedere i vari metodi, affinché potessi scegliere quello che ti era più congeniale.
io ho fatto i vari calcoli...ma il problema sta nel fatto che questo problema non ha altri dati e quindi l'ho risolto con le spiegazioni che mi hai fornito e i calcoli concidono alla fine
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