Problema funzioni implicite!
Salve a tutti!! Ho un problema sulle funzioni implicite! Ora scrivo la traccia e lo svolgimento potreste controllare il procedimento?! Grazie!!
Si dimostri che l'equazione
$ y^(5)+y-xe^{x}=0 $
definisce una sola funzione $y=f(x)$ in un intorno dell'origine.
Ammesso che la funzione sia definita in tutto $ RR $, si verifichi che:
(a) $ xf(x)>0 AA x in RR \{ 0 } $
(b) $ f rarr 0^(-) per x rarr -oo $
(c) $ f rarr +oo per x rarr +oo $
(d) f ha un punto di minimo per x=-1
Svolgimento:
Dominio: $RR^2$
Applico il Teorema del Dini.
$z= y^(5)+y-xe^{x}=0 $
$(x,y)=(0,0)$
$ f_y(x,y)=5y^4+1 $
$ f_y(0,0)=1 != 0 $
$ f_x(x,y)= (-e^x(x+1) $
$ f_x(x,y)=-1!=0 $
$ phi^{\prime} (x)=-((-e^x(x+1))/(5phi(x)^4 +1)) $
$phi ^{\prime}(0)=-(-1)=1$
$ f_(x x) =-e^x(x+2)$
$ f_(x y)=0 $
$ f_(y x)=0 $
$ f_(y y)=20y^3 $
$ phi_('') (x)=-(((-e^x(x+2))(5phi(x)^4+1)^2+20phi(x)^3(-e^x(x+1))^2)/(5phi(x)^4+1)^3) $
$ phi_('') (x)=2 $
Applico la formula di Taylor e mi viene un'approssimazione della funzione
$ phi (x)=x+x^2 $
ora che ho trovato la funzione si dovrebbero verificare i punti dell'esercizio, ma a parte il primo il resto nn si verifica!!!
Mi date una mano, forse sbaglio qualcosa ma non riesco a capire cosa!
Si dimostri che l'equazione
$ y^(5)+y-xe^{x}=0 $
definisce una sola funzione $y=f(x)$ in un intorno dell'origine.
Ammesso che la funzione sia definita in tutto $ RR $, si verifichi che:
(a) $ xf(x)>0 AA x in RR \{ 0 } $
(b) $ f rarr 0^(-) per x rarr -oo $
(c) $ f rarr +oo per x rarr +oo $
(d) f ha un punto di minimo per x=-1
Svolgimento:
Dominio: $RR^2$
Applico il Teorema del Dini.
$z= y^(5)+y-xe^{x}=0 $
$(x,y)=(0,0)$
$ f_y(x,y)=5y^4+1 $
$ f_y(0,0)=1 != 0 $
$ f_x(x,y)= (-e^x(x+1) $
$ f_x(x,y)=-1!=0 $
$ phi^{\prime} (x)=-((-e^x(x+1))/(5phi(x)^4 +1)) $
$phi ^{\prime}(0)=-(-1)=1$
$ f_(x x) =-e^x(x+2)$
$ f_(x y)=0 $
$ f_(y x)=0 $
$ f_(y y)=20y^3 $
$ phi_('') (x)=-(((-e^x(x+2))(5phi(x)^4+1)^2+20phi(x)^3(-e^x(x+1))^2)/(5phi(x)^4+1)^3) $
$ phi_('') (x)=2 $
Applico la formula di Taylor e mi viene un'approssimazione della funzione
$ phi (x)=x+x^2 $
ora che ho trovato la funzione si dovrebbero verificare i punti dell'esercizio, ma a parte il primo il resto nn si verifica!!!
Mi date una mano, forse sbaglio qualcosa ma non riesco a capire cosa!
Risposte
Non saprei neanche io... Se $y = f(x)$ è la funzione implicita definita da $ y^(5)+y-xe^{x}=0 $ in un intorno dell'origine, bisognerebbe capire cosa significa "supporla definita su tutto $RR$". Forse c'è qualcosa che mi sfugge...
Ho letto questo post qualche giorno fa ed ho riflettuto sulla questione.
Premesso che, come il buon Seneca, non ho certezze sulla soluzione, secondo me il passo successivo è usare la relazione sulla derivata prima come una ODE e cercare di risolverla; questo spiegherebbe il suggerimento di "supporla definita su tutto \(\mathbb{R}\)", che si riferirebbe all'esistenza locale della soluzione dell'ODE.
Ho comunque provato a scrivere l'ODE ma la soluzione non è facilissima, quindi potrebbe essere una pista sbagliata..
Premesso che, come il buon Seneca, non ho certezze sulla soluzione, secondo me il passo successivo è usare la relazione sulla derivata prima come una ODE e cercare di risolverla; questo spiegherebbe il suggerimento di "supporla definita su tutto \(\mathbb{R}\)", che si riferirebbe all'esistenza locale della soluzione dell'ODE.
Ho comunque provato a scrivere l'ODE ma la soluzione non è facilissima, quindi potrebbe essere una pista sbagliata..
Lo sviluppo nell'intorno dell'origine non ti dà, ovviamente, informazioni sui limiti a \(\pm\infty\).
Tali limiti, se sei fortunato, li puoi calcolare guardando direttamente l'equazione implicita. Vedi subito che, per \(x\to -\infty\), si ha \(x e^x\to 0\); di conseguenza devi avere anche \(y^5+y\to 0\), che implica \(f(x)\to 0\).
Inoltre, per \(x<0\) si ha \(y^5 + y = x e^x < 0\), dunque \(y < 0\); da questo concludi che \(f(x) \to 0^-\).
In modo analogo puoi ragionare per il limite \(x\to +\infty\).
Tali limiti, se sei fortunato, li puoi calcolare guardando direttamente l'equazione implicita. Vedi subito che, per \(x\to -\infty\), si ha \(x e^x\to 0\); di conseguenza devi avere anche \(y^5+y\to 0\), che implica \(f(x)\to 0\).
Inoltre, per \(x<0\) si ha \(y^5 + y = x e^x < 0\), dunque \(y < 0\); da questo concludi che \(f(x) \to 0^-\).
In modo analogo puoi ragionare per il limite \(x\to +\infty\).
Quindi i limiti li dovrei calcolare direttamente guardando la funzione implicita??? Anche se l'esercizio mi dice di dimostrare prima che esiste una funzione e poi mi chiede di calcolare i limiti??
Grazie mille per la disponibilità!!!
Grazie mille per la disponibilità!!!
Poiché \(\frac{\partial F}{\partial y} (x,y) = 5 y^4 + 1 > 0\) e, per ogni \(x\) fissato, \(\lim_{y\to\pm\infty} F(x,y) = \pm\infty\), hai che per ogni \(x\in\mathbb{R}\) esiste un unico valore \(y=f(x)\in\mathbb{R}\) tale che \(F(x,f(x)) = 0\).
Per i limiti per \(x\to\pm\infty\) puoi ragionare come ti ho già detto.
Per i limiti per \(x\to\pm\infty\) puoi ragionare come ti ho già detto.
Ok, ho capito!!! Grazie mille!!!
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