Problema flusso Analisi II
Salve a tutti ho questo esercizio:
Calcolare il flusso uscente attraverso la superficie , utilizzando il teorema della divergenza, con:
$v(x,y)=1/(1+xy)i+y/(1+xy)j$
Graficamente ho la superficie intersecata dalle rette $y=sqrt3 $, $ y=x $, $ xy=2 $, $ xy=1$.
Ora so solo che il teorema della divergenza è pari all'integrale doppio della divergenza di v...ma non avendo fatto nessun esercizio in aula mi trovo in difficoltà. Avevo pensato di integrare direttamente in dx e dy le equazione rispettivamente vicino i e j, ma non saprei neanche come impostare il dominio.
Qualcuno può aiutarmi?
Calcolare il flusso uscente attraverso la superficie , utilizzando il teorema della divergenza, con:
$v(x,y)=1/(1+xy)i+y/(1+xy)j$
Graficamente ho la superficie intersecata dalle rette $y=sqrt3 $, $ y=x $, $ xy=2 $, $ xy=1$.
Ora so solo che il teorema della divergenza è pari all'integrale doppio della divergenza di v...ma non avendo fatto nessun esercizio in aula mi trovo in difficoltà. Avevo pensato di integrare direttamente in dx e dy le equazione rispettivamente vicino i e j, ma non saprei neanche come impostare il dominio.
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Se sai disegnare il dominio sai anche come impostare gli estremi.
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In pratica è un'area racchiusa dalle due iperboli e delimitata dalle due rette.
L'integrale è facile da impostare per orizzontali e va spezzato in due parti:
- $1\ley\le\sqrt2$
- $\sqrt2\ley\le\sqrt3$
Poi dobbiamo calcolarci la divergenza
$\nabla\ \cdot v = (1-y)/(1+xy)^2$
Ora impostiamo l'integrale:
$\int_1^\sqrt2 \int_(1/y)^y \nabla\ \cdot v \ dx\ dy+\int_\sqrt2^\sqrt3 \int_(1/y)^(2/y) \nabla\ \cdot v \ dx\ dy$
e si risolve l'integrale
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In pratica è un'area racchiusa dalle due iperboli e delimitata dalle due rette.
L'integrale è facile da impostare per orizzontali e va spezzato in due parti:
- $1\ley\le\sqrt2$
- $\sqrt2\ley\le\sqrt3$
Poi dobbiamo calcolarci la divergenza
$\nabla\ \cdot v = (1-y)/(1+xy)^2$
Ora impostiamo l'integrale:
$\int_1^\sqrt2 \int_(1/y)^y \nabla\ \cdot v \ dx\ dy+\int_\sqrt2^\sqrt3 \int_(1/y)^(2/y) \nabla\ \cdot v \ dx\ dy$
e si risolve l'integrale
La divergenza mi trovo...ma continuo ad avere difficoltà nel capire i domini e l'impostazione degli estremi di integrazione 
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